Какова длина стороны AB в треугольнике ABC, если угол C вписан в окружность с радиусом 12 и является равным 30°?

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства вписанных углов в окружность. Давайте посмотрим на приведенное изображение:

\[
\begin{array}{c}
\begin{array}{ccc}
& & \text{O} \\
& \, | \, & \, | \, \\
\text{A} & - & \text{B} \\
\end{array} \\
\text{Окружность с радиусом 12} \\
\angle \text{C} = 30^{\circ} \text{ и } \text{A, B, C} \text{ -- вершины треугольника} \\
\end{array}
\]

Нам известно, что угол, который охватывает дугу окружности, вдоль которой находится сторона треугольника, равен вдвое большему углу треугольника, образованного этой стороной. В нашем случае, угол между лучами AB и AC равен 30°, поэтому угол вдоль дуги, соответствующей стороне AB, будет равен \(2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}\).

Также мы знаем, что центральный угол, охватывающий всю окружность, равен 360°. Так как угол вдоль дуги AB равен 60°, оставшийся угол \(\angle \text{AOB}\) можно найти вычитанием: \(360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}\).

Зная этот угол \(\angle \text{AOB}\), мы можем рассмотреть равнобедренный треугольник AOB. В таком треугольнике, сторона AO равна стороне BO, и угол между этими сторонами равен половине угла в вершине треугольника. Таким образом, у нас есть равнобедренный треугольник OAB со сторонами длиной 12 и углом 150° в вершине.

Мы можем применить закон синусов, чтобы найти длину стороны AB:

\[
\frac{AB}{\sin(\angle \text{AOB})} = \frac{AO}{\sin(\angle \text{OAB})} \implies AB = \frac{AO \cdot \sin(\angle \text{AOB})}{\sin(\angle \text{OAB})}
\]

Теперь рассмотрим треугольник AOB более подробно. У нас есть две известные стороны (12 и 12) и угол между ними (150°). Мы можем использовать закон синусов для нахождения стороны AO:

\[
\frac{AO}{\sin(\angle \text{OAB})} = \frac{12}{\sin(150^{\circ})} \implies AO = \frac{12 \cdot \sin(150^{\circ})}{\sin(\angle \text{OAB})}
\]

Теперь мы можем подставить значения AO и \(\angle \text{AOB}\) в формулу для AB:

\[
AB = \frac{\frac{12 \cdot \sin(150^{\circ})}{\sin(\angle \text{OAB})} \cdot \sin(60^{\circ})}{\sin(\angle \text{OAB})}
\]

После упрощения этого выражения, мы найдем длину стороны AB в треугольнике ABC.