Какова длина стороны AB противолежащая углу C, если угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен

Для решения этой задачи мы можем использовать некоторые свойства треугольников, вписанных в окружность.

Для начала, давайте вспомним, что центр окружности всегда находится внутри треугольника, вписанного в эту окружность. Также известно, что угол, образованный двумя радиусами, протянутыми к концам хорды, равен удвоенному углу, соответствующему этой хорде.

Таким образом, угол CAB (вписанный угол) равен половине центрального угла AOB (угол между хордой AB и радиусом OA):

\[ \angle CAB = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB \]

В нашем случае, задано, что угол C равен 45 градусам. Поскольку угол AOB - это центральный угол, противолежащий дуге AB, а относительное противолежащее углу C, это значит, что:

\[ \angle AOB = 2 \cdot \angle CAB = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ \]

Теперь мы можем продолжить решение задачи, используя теорему синусов. В прямоугольном треугольнике AOB, где угол AOB = 90 градусов, мы знаем, что:

\[ \sin(\angle OAB) = \frac{AB}{OA} \]

Так как радиус окружности равен 3, мы можем обозначить его как OA = 3. Тогда у нас получается:

\[ \sin(\angle OAB) = \frac{AB}{3} \]

Поскольку угол OAB - это противолежащий углу C, мы можем применить функцию синуса:

\[ \sin(\angle OAB) = \sin(45^\circ) = \frac{AB}{3} \]

Мы можем рассчитать значение синуса 45 градусов, которое равно \( \frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AB}{3} \]

Теперь мы можем найти длину стороны AB, перемножив обе стороны уравнения на 3:

\[ AB = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, длина стороны AB, противолежащей углу C, равна \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \) единиц.