Какова длина самого короткого маршрута от А до В, затем до С и обратно до А? (A) 18 км (B) 20 км (C) 25 км (D

Для решения данной задачи нужно воспользоваться понятием "треугольника с минимальным периметром" или "треугольника с наименьшей длиной стороны".

Для начала, посмотрим на варианты ответов.

(A) 18 км, (B) 20 км, (C) 25 км, (D) 35 км, (E) необходимо рассчитать.

Выберем любую точку, скажем, точку А, и проведем отрезки до оставшихся точек В и С. Затем суммируем длины всех трех отрезков.

Для удобства обозначим длину отрезка АВ как \(x\), отрезка AC - \(y\), а отрезка ВС - \(z\).

Тогда, длина маршрута от А до В, затем до С и обратно до А будет равна:

\(x + z + y\).

Согласно неравенству треугольника, величина каждой стороны треугольника должна быть меньше суммы длин двух других сторон.

Применяя это знание, мы можем записать следующие неравенства:

\[
\begin{align*}
x &< y + z \\
y &< x + z \\
z &< x + y \\
\end{align*}
\]

Так как нас интересует треугольник с минимальным периметром, то в нашем случае все неравенства станут строгими, то есть:

\[
\begin{align*}
x &< y + z \\
y &< x + z \\
z &< x + y \\
\end{align*}
\]

Теперь мы можем рассмотреть возможные варианты значений \(x\), \(y\) и \(z\) для каждого из предложенных ответов.

(A) 18 км:
Если \(x = 18\), то получаем неравенства:
\(18 < y + z\),
\(y < 18 + z\) и
\(z < 18 + y\).

(B) 20 км:
Если \(x = 20\), то получаем неравенства:
\(20 < y + z\),
\(y < 20 + z\) и
\(z < 20 + y\).

(C) 25 км:
Если \(x = 25\), то получаем неравенства:
\(25 < y + z\),
\(y < 25 + z\) и
\(z < 25 + y\).

(D) 35 км:
Если \(x = 35\), то получаем неравенства:
\(35 < y + z\),
\(y < 35 + z\) и
\(z < 35 + y\).

Теперь рассмотрим каждый вариант ответа более подробно:

(A) 18 км:
Если \(x = 18\), то из неравенства \(18 < y + z\) следует, что \(y + z\) должно быть больше 18. Это означает, что маршрут от А до В, затем до С и обратно до А будет иметь длину больше 18 км.

(B) 20 км:
Если \(x = 20\), то из неравенства \(20 < y + z\) следует, что \(y + z\) должно быть больше 20. Аналогичным образом, маршрут от А до В, затем до С и обратно до А будет иметь длину больше 20 км.

(C) 25 км:
Если \(x = 25\), то из неравенства \(25 < y + z\) следует, что \(y + z\) должно быть больше 25. Продолжая логику, маршрут от А до В, затем до С и обратно до А будет иметь длину больше 25 км.

(D) 35 км:
Если \(x = 35\), то из неравенства \(35 < y + z\) следует, что \(y + z\) должно быть больше 35. Таким образом, маршрут от А до В, затем до С и обратно до А будет иметь длину больше 35 км.

Исходя из проведенного анализа, мы видим, что ни один из вариантов ответа (A), (B), (C) и (D) не подходит, так как все они требуют большей длины сторон по сравнению с представленным маршрутом. Следовательно, правильным ответом является (E) необходимо рассчитать.

Однако, давайте все-таки для полноты проверим этот ответ, прежде чем сделать окончательное заключение.

Мы знаем, что \(x + y + z\) является длиной маршрута от А до В, затем до С и обратно до А. Таким образом, чтобы найти самый короткий маршрут, необходимо найти треугольник с минимальным периметром.

Для этого, оценим сумму длин двух сторон из всех возможных комбинаций \(x\), \(y\) и \(z\):

\[
\begin{align*}
x + y &> z \\
y + z &> x \\
z + x &> y \\
\end{align*}
\]

Подставляя значения \(x = 18\), \(y = 8\), и \(z = 9\) в эти неравенства, мы видим:

\[
\begin{align*}
18 + 8 &= 26 > 9 \\
8 + 9 &= 17 > 18 \\
9 + 18 &= 27 > 8 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, сумма длин двух сторон \(y\) и \(z\) должна быть меньше длины третьей стороны \(x\).

Исходя из этого, мы можем сделать вывод, что (E) необходимо рассчитать является правильным ответом. Чтобы точно определить длину самого короткого маршрута, необходимо рассчитать значения \(x\), \(y\) и \(z\).