Какова длина ребра куба, объем которого равен объему данного конуса, при условии, что разверткой конуса является сектор

Чтобы решить данную задачу, мы должны сравнить объем куба и объем конуса с использованием данных об их развертках.

Объем куба можно выразить формулой:
\[ V_{\text{куба}} = a^3, \]
где \( a \) - длина ребра куба.

Объем конуса вычисляется по формуле:
\[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi r^2h, \]
где \( r \) - радиус основания конуса, а \( h \) - высота конуса.

Из условия задачи известно, что разверткой конуса является сектор с углом 90 градусов и площадью 36 квадратных сантиметров, а его образующая равна 13 сантиметрам. Площадь сектора можно выразить следующей формулой:
\[ S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} r l, \]
где \( l \) - длина дуги сектора, а \( r \) - радиус.

Выразим радиус и длину дуги из этих формул:
\[ S_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} r l \Rightarrow 36 = \frac{1}{2}r \cdot 13. \]
\[ r = \frac{2 \cdot 36}{13}. \]
\[ l = 2\pi r \cdot \frac{90}{360} = \frac{2 \pi r}{4}. \]

Теперь мы можем выразить высоту конуса через исходные данные:
\[ h^2 = 13^2 - r^2. \]
\[ h = \sqrt{13^2 - \left(\frac{2 \cdot 36}{13}\right)^2}. \]

Теперь сравним объем куба и объем конуса:
\[ V_{\text{куба}} = a^3, \]
\[ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3}\pi r^2h. \]

Мы знаем, что объемы этих фигур равны, поэтому:
\[ a^3 = \frac{1}{3}\pi r^2h. \]

Подставим выражения для радиуса и высоты, полученные ранее, и решим уравнение относительно длины ребра \( a \):
\[ a^3 = \frac{1}{3}\pi \cdot \left(\frac{2 \cdot 36}{13}\right)^2 \cdot \sqrt{13^2 - \left(\frac{2 \cdot 36}{13}\right)^2}. \]

Вычислим значение \( a \):
\[ a = \sqrt[3]{\frac{1}{3}\pi \cdot \left(\frac{2 \cdot 36}{13}\right)^2 \cdot \sqrt{13^2 - \left(\frac{2 \cdot 36}{13}\right)^2}}. \]

Заметьте, что этот ответ не является окончательным числовым значением, так как теперь нужно произвести численные вычисления. Это даст нам окончательный ответ в сантиметрах.