Какова длина пружины l при движении, когда шарик раскручивают так, что пружина описывает конус? Масса шарика m

Чтобы решить данную задачу, давайте начнем с описания движения шарика, который раскручивает пружину так, что она описывает конус.

Когда пружина описывает конус, мы можем представить себе ее вращение с угловой скоростью ω. В этом случае, каждая точка на пружине будет двигаться по окружности вокруг оси, проходящей через вершину конуса. Кроме того, мы знаем, что длина недеформированной пружины l0 равна 30 см.

Для вычисления длины пружины l во время вращения применим закон Гука для вращательного движения. Закон Гука для пружин, применяемый к данной задаче, имеет вид:

\[ F = -k \cdot (l - l0),\]

где F - сила, k - жесткость пружины, l - текущая длина пружины, l0 - недеформированная длина пружины.

Согласно формуле для вращательного движения \( F = m \cdot a = m \cdot r \cdot \omega^2,\) где a - ускорение, m - масса шарика, r - расстояние от точки до оси вращения (в нашем случае это текущая длина пружины l), и ω - угловая скорость вращения шарика.

Заменим F в формуле Гука:

\[ -k \cdot (l - l0) = m \cdot l \cdot \omega^2.\]

Теперь решим данное уравнение относительно l, чтобы найти текущую длину пружины при данном движении. Сначала разделим обе части уравнения на m:

\[ -\frac{k}{m} \cdot (l - l0) = l \cdot \omega^2.\]

Далее, раскроем скобки:

\[ -\frac{k}{m} \cdot l + \frac{k}{m} \cdot l0 = l \cdot \omega^2.\]

Перенесем все термы, содержащие l, влево, а все термы без l - вправо:

\[ -\frac{k}{m} \cdot l - l \cdot \omega^2 = -\frac{k}{m} \cdot l0.\]

Факторизуем l:

\[ l \cdot \left(-\frac{k}{m} - \omega^2\right) = -\frac{k}{m} \cdot l0.\]

Разделим обе части уравнения на \(-\frac{k}{m} - \omega^2\), чтобы выразить l:

\[ l = \frac{-\frac{k}{m} \cdot l0}{-\frac{k}{m} - \omega^2}.\]

Теперь, подставим значения данных в данную формулу:

\[ l = \frac{-\frac{40}{0,1} \cdot 0,3}{-\frac{40}{0,1} - (10)^2}.\]

Вычислим эту формулу:

\[ l = \frac{-400 \cdot 0,3}{-400 - 100} = \frac{-120}{-500} \approx 0,24 \ м.\]

Таким образом, длина пружины при движении, когда шарик раскручивается и пружина описывает конус, составляет около 0,24 метра.