Какова длина отрезков, на которые гипотенуза прямоугольного треугольника делится высотой, проведённой из вершины

Добро пожаловать! Чтобы решить данную задачу, давайте введем обозначения, чтобы было удобнее проводить вычисления.

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна \(c\), а длины проекций катетов на гипотенузу равны \(h_1\) и \(h_2\). Из условия задачи известно, что \(\frac{h_1}{h_2} = \frac{3}{4}\).

Для начала, давайте найдем отношение длины гипотенузы к длине одного из катетов. По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

\[a^2 + b^2 = c^2.\]

Так как один из катетов является проекцией гипотенузы, то \(a = h_1\).

Воспользуемся этой информацией и подставим \(a = h_1\) в уравнение Пифагора:

\[h_1^2 + b^2 = c^2.\]

Другими словами, получаем, что сумма квадратов длин проекции гипотенузы и второго катета равна квадрату гипотенузы. Поскольку отношение длин проекций катетов равно \(\frac{3}{4}\), мы можем записать:

\[h_2 = \frac{4}{3}h_1.\]

Теперь мы можем подставить \(h_2 = \frac{4}{3}h_1\) в уравнение Пифагора:

\[h_1^2 + (\frac{4}{3}h_1)^2 = c^2.\]

Упростим это уравнение:

\[h_1^2 + \frac{16}{9}h_1^2 = c^2.\]

Сложим дроби:

\(\frac{25}{9}h_1^2 = c^2.\)

Теперь избавимся от дроби, возведя \(\frac{25}{9}\) в квадрат:

\[h_1^2 = \frac{9}{25}c^2.\]

Возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[h_1 = \frac{3}{5}c.\]

Таким образом, мы нашли длину одной из проекций катетов на гипотенузу.

Чтобы найти длину второй проекции катета, воспользуемся отношением \(\frac{h_1}{h_2} = \frac{3}{4}\). Подставим \(h_1 = \frac{3}{5}c\) и найдем \(h_2\):

\[\frac{\frac{3}{5}c}{h_2} = \frac{3}{4}.\]

Перепишем это уравнение:

\[\frac{3}{5c} = \frac{3}{4h_2}.\]

Перекрестно умножим дроби:

\[3 \cdot 4h_2 = 3 \cdot 5c.\]

Упростим:

\[12h_2 = 15c.\]

Теперь разделим обе части уравнения на 12:

\[h_2 = \frac{15}{12}c.\]

Упростим дробь:

\[h_2 = \frac{5}{4}c.\]

Таким образом, длина второй проекции катета на гипотенузу равна \(\frac{5}{4}c\).

В ответе на вопрос задачи искомые длины указываются как отношения к длине гипотенузы. Поэтому ответом будет:

Длина первой проекции катета на гипотенузу составляет \(\frac{3}{5}\) от длины гипотенузы, а длина второй проекции катета на гипотенузу составляет \(\frac{5}{4}\) от длины гипотенузы.