Какова длина отрезка RN в треугольнике RLM, где известно, что сторона LR = 14, сторона LM = 10.5 и сторона RM

Чтобы определить длину отрезка \(RN\) в треугольнике \(RLM\), нам понадобится использовать свойства биссектрисы.

Биссектриса — это линия, которая делит угол прямо пополам, разделяя его на два равных угла. В данной задаче, мы знаем, что биссектриса проходит через вершину \(R\) и делит угол \(LRM\) пополам. Пусть точка пересечения биссектрисы и стороны \(LM\) обозначается как точка \(N\).

Теперь, чтобы найти длину отрезка \(RN\), мы должны использовать свойство биссектрисы, которое гласит, что отрезок \(RN\) делит сторону \(RM\) пропорционально длинам сторон \(LR\) и \(LM\).

Используя данную информацию, мы можем записать следующее соотношение:

\(\frac{{RM}}{{RN}} = \frac{{LR}}{{LN}}\)

Теперь, давайте подставим известные значения в это соотношение:

\(\frac{{20}}{{RN}} = \frac{{14}}{{LN}}\)

Теперь, нам нужно найти длину отрезка \(LN\) для решения задачи.

Мы можем использовать известные длины сторон треугольника \(LRM\), чтобы найти длину отрезка \(LN\) с помощью теоремы Пифагора:

\(LN^2 = LM^2 - MN^2\)

Теперь, давайте подставим известные значения:

\(LN^2 = 10.5^2 - RN^2\)

Теперь мы можем переписать изначальное соотношение с использованием найденной формулы для \(LN\):

\(\frac{{20}}{{RN}} = \frac{{14}}{{\sqrt{{10.5^2 - RN^2}}}}\)

Теперь наша задача сводится к решению этого уравнения. Мы можем умножить обе части уравнения на \(RN\sqrt{{10.5^2 - RN^2}}\) и получить следующее:

\(20\sqrt{{10.5^2 - RN^2}} = 14RN\)

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

\(400 \cdot (10.5^2 - RN^2) = 196RN^2\)

Раскроем скобки:

\(400 \cdot 110.25 - 400RN^2 = 196RN^2\)

Упростим:

\(44000 - 400RN^2 = 196RN^2\)

Добавим \(400RN^2\) к обеим сторонам:

\(44000 = 596RN^2\)

Теперь разделим обе стороны уравнения на 596:

\(RN^2 = \frac{{44000}}{{596}}\)

Вычислим это значение:

\(RN^2 \approx 73.82\)

Чтобы найти длину отрезка \(RN\), возьмем квадратный корень из обоих сторон:

\(RN \approx \sqrt{{73.82}}\)

Грубо округлим это значение до ближайшей десятой:

\(RN \approx 8.6\)

Таким образом, длина отрезка \(RN\) в треугольнике \(RLM\) примерно равна 8.6.