Какова длина отрезка CD, если известно, что Высота BD треугольника ABC делит его сторону AC на отрезки AD и

Чтобы найти длину отрезка CD, нам нужно использовать свойства треугольников и углов.

Итак, у нас есть треугольник ABC, в котором AB = 23 см, BC = 7 см и ∠A = 60°. Мы также знаем, что высота BD делит сторону AC на отрезки AD и CD.

Давайте последовательно выполнять несколько шагов, чтобы найти длину отрезка CD.

1. Сначала найдем длину стороны AC. Для этого мы можем использовать теорему косинусов для треугольника ABC:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle A)\]
\[AC^2 = 23^2 + 7^2 - 2 \cdot 23 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ)\]
\[AC^2 = 529 + 49 - 322 \cdot \frac{1}{2}\]
\[AC^2 = 529 + 49 - 161\]
\[AC^2 = 417\]
\[AC = \sqrt{417}\]
\[AC \approx 20.42 \text{ см}\]

2. Теперь нам нужно найти длину отрезка AD. Поскольку высота BD делит сторону AC на отрезки AD и CD, то мы можем предположить, что отношение длины AD к длине CD равно отношению длины BD к длине DC. Имеем:
\[\frac{AD}{CD} = \frac{BD}{DC}\]

3. Так как высота BD является высотой треугольника ABC, то она перпендикулярна стороне AB и образует прямой угол с ней. Это означает, что треугольники ABD и BCD подобны по признаку соответственности углов. Следовательно, отношение длин сторон треугольников равно отношению длин высот:
\[\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{DC}\]

4. Теперь мы имеем два уравнения:
\[\frac{AD}{CD} = \frac{BD}{DC}\]
\[\frac{AD}{BD} = \frac{CD}{DC}\]

5. Мы можем объединить эти два уравнения и найти длину отрезка CD. Подставим значения BD (высота) и AD (он равен AC - CD) в уравнение:
\[\frac{AC - CD}{BD} = \frac{CD}{DC}\]

6. Раскроем скобки:
\[\frac{AC}{BD} - \frac{CD}{BD} = \frac{CD}{DC}\]

7. Перенесем \(\frac{CD}{DC}\) влево, а \(\frac{AC}{BD}\) вправо:
\[\frac{AC}{BD} = \frac{2CD}{BD}\]

8. Упростим выражение:
\[AC = 2CD\]
\[2CD = AC\]
\[CD = \frac{1}{2} AC\]
\[CD = \frac{1}{2} \cdot 20.42 \text{ см}\]
\[CD \approx 10.21 \text{ см}\]

Таким образом, длина отрезка CD равна примерно 10.21 см.