Какова длина отрезка BO в треугольнике ABC, если известно, что AB = 3, BC = 4 и угол B равен 90 градусов?

Чтобы найти длину отрезка BO в треугольнике ABC, мы можем использовать теорему Пифагора и тригонометрические соотношения. Давайте рассмотрим это шаг за шагом.

1. Начнем с теоремы Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В нашем случае, стороны AB и BC являются катетами, а сторона AC является гипотенузой. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[3^2 + 4^2 = AC^2\]
\[9 + 16 = AC^2\]
\[25 = AC^2\]

2. Теперь найдем длину стороны AC. Мы знаем, что сторона AC является гипотенузой, а угол B равен 90 градусов, так что треугольник ABC является прямоугольным треугольником. По определению тригонометрии, гипотенуза равна отношению противоположного катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. В нашем случае, сторона AC является гипотенузой, сторона AB - противоположным катетом, а сторона BC - прилежащим катетом. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}\]
\[AC = \sqrt{3^2 + 4^2}\]
\[AC = \sqrt{9 + 16}\]
\[AC = \sqrt{25}\]
\[AC = 5\]

3. Наконец, чтобы найти длину отрезка BO, нам нужно вычесть длину отрезка AO из длины стороны AC. Мы знаем, что точка O является серединой гипотенузы AC, поэтому отрезок AO равен половине длины AC. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[BO = AC - AO\]
\[BO = 5 - \frac{1}{2} \cdot 5\]
\[BO = 5 - 2.5\]
\[BO = 2.5\]

Таким образом, длина отрезка BO в треугольнике ABC равна 2.5.