Какова длина отрезка AY, если известно, что в треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а угол ACB равен 75 градусам?

Пусть сторона AB равна стороне BC и равна \(x\) (см).

Так как угол ACB равен 75 градусам, то угол ABC также равен 75 градусам. Поскольку треугольник ABC - равносторонний, все его стороны равны \(x\) (см).

Таким образом, AB = BC = \(x\) (см).

Из условия известно, что AX = BY и угол BAX равен углу YAX.

Поскольку AX = BY и треугольник ABC - равносторонний, из угла ABC можно заключить, что угол BAX равен 75 градусам.

Значит, треугольник ABX - равнобедренный, и угол BXA также равен 75 градусам.

Таким образом, угол AXY равен 180 - 75 - 75 = 30 градусам.

Треугольник AXY - равнобедренный, поскольку AX = AY.

Так как угол AXY равен 30 градусам, то угол AYX также равен 30 градусам.

Тогда угол YAX равен 180 - 75 - 30 = 75 градусам.

Теперь посмотрим на треугольник AYX.

У него есть два равных угла (30 градусов и 30 градусов) и один угол (75 градусов).

Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, можно найти третий угол:

\[
\text{Угол AXY + Угол AYX + Угол YAX = 180 градусов}
\]

\[
30 + 30 + 75 = 135 градусов
\]

Оставшийся угол треугольника AYX равен 180 - 135 = 45 градусов.

Теперь мы знаем два угла треугольника AYX (30 градусов и 45 градусов), поэтому мы можем найти третий угол:

\[
\text{Угол AYX + Угол YAX + Угол YXA = 180 градусов}
\]

\[
30 + 75 + \text{Угол YXA} = 180 градусов
\]

\[
\text{Угол YXA} = 180 - 30 - 75 = 75 градусов
\]

Таким образом, треугольник AYX - равнобедренный, с двумя углами 30 градусов и одним углом 75 градусов.

Из равенства сторон AX = AY следует, что у треугольника AYX также равны две стороны - AX и AY.

Поскольку у треугольника AYX только две равные стороны (AX и AY), он является прямоугольным.

Таким образом, треугольник AYX - равнобедренный и прямоугольный, а значит, у него гипотенуза \(AY\) равна стороне \(AX\).

Следовательно, длина отрезка AY равна длине отрезка \(AX\) и равна \(x\) (см).