Какова длина отрезка АТ в треугольнике АВС, если сторона ВС равна 6√6, угол С равен 45°, и угол А равен 60°?

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов. Теорема синусов гласит, что отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно одной и той же константе.

В данном случае, мы знаем длину стороны ВС (6√6), угол С (45°) и угол А (60°). Теперь нам нужно найти длину отрезка АТ.

Пусть длина отрезка АТ равна Х. Тогда, согласно теореме синусов, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{BC}{\sin A} = \frac{AT}{\sin C}\]

Применяя известные значения, получаем:

\[\frac{6√6}{\sin 60°} = \frac{X}{\sin 45°}\]

Для удобства продолжим с вычислениями. Заметим, что \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Теперь можем записать:

\[\frac{6√6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{X}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Упростим это выражение, умножив обе стороны на \(\frac{2}{\sqrt{3}}\):

\[\frac{6√6 × 2}{\sqrt{3}} = \frac{X × 2}{\sqrt{2}}\]

Продолжим упрощать:

\[\frac{12√6}{\sqrt{3}} = \frac{2X}{\sqrt{2}}\]

Умножим обе стороны на \(\sqrt{2}\), чтобы избавиться от знаменателя на правой стороне:

\[\frac{12√6 × \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2X\]

Можем дальше упростить эту дробь:

\[\frac{12√12}{\sqrt{3}} = 2X\]

Упростим числитель дроби:

\[\frac{12 × 2√3}{\sqrt{3}} = 2X\]

Здесь сократимся \(\sqrt{3}\) и 2:

\[4√3 = 2X\]

Теперь найдём значение X:

\[X = \frac{4√3}{2} = 2√3\]

Таким образом, длина отрезка АТ в треугольнике АВС равна \(2√3\).