Какова длина общей внешней касательной для двух окружностей радиусами 24 и 54, которые касаются друг друга внешне?

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства окружностей и треугольников.

Давайте представим себе две окружности с радиусами 24 и 54, которые касаются друг друга внешним образом. Обозначим эти окружности как \(О_1\) и \(О_2\).

Сначала найдем расстояние между центрами окружностей \(O_1\) и \(O_2\). По свойству внешней касательной, расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов. В данном случае, сумма радиусов равна 24 + 54 = 78.

Теперь мы можем построить прямую, проходящую через центры окружностей \(O_1\) и \(O_2\). Обозначим эту прямую как \(AB\). Так как центры окружностей представляются точками \(A\) и \(B\), то расстояние между ними будет равно 78.

Касательная к окружности проходит через точку касания, поэтому длина внешней касательной \(CD\) будет равна расстоянию между точками касания и образует прямоугольный треугольник \(ACD\).

Чтобы найти эту длину, нам нужно найти длины двух других сторон треугольника \(AC\) и \(AD\). Следуя правилу Пифагора, мы можем использовать следующие формулы:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2}\]
\[AD = \sqrt{AB^2 - BD^2}\]

Теперь нам нужно найти значения \(AB\), \(BC\) и \(BD\). Мы уже знаем, что \(AB = 78\), а также что \(BC\) и \(BD\) - это радиусы окружностей \(24\) и \(54\) соответственно.

Подставив полученные значения в формулы, мы можем вычислить длины \(AC\) и \(AD\):

\[AC = \sqrt{78^2 - 24^2}\]
\[AD = \sqrt{78^2 - 54^2}\]

Вычислив данные выражения, получим:

\[AC = \sqrt{6084 - 576} = \sqrt{5508} \approx 74.26\]
\[AD = \sqrt{6084 - 2916} = \sqrt{3168} \approx 56.29\]

Таким образом, длина внешней касательной для двух окружностей радиусами 24 и 54 составляет примерно 74.26 единицы длины.