Какова длина общей внешней касательной для двух окружностей радиусами 24 и 54, которые касаются друг друга внешне?

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства окружностей и треугольников.

Давайте представим себе две окружности с радиусами 24 и 54, которые касаются друг друга внешним образом. Обозначим эти окружности как ${О}_1$ и ${О}_2$.

Сначала найдем расстояние между центрами окружностей $O_1$ и $O_2$. По свойству внешней касательной, расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов. В данном случае, сумма радиусов равна 24 + 54 = 78.

Теперь мы можем построить прямую, проходящую через центры окружностей $O_1$ и $O_2$. Обозначим эту прямую как $AB$. Так как центры окружностей представляются точками $A$ и $B$, то расстояние между ними будет равно 78.

Касательная к окружности проходит через точку касания, поэтому длина внешней касательной $CD$ будет равна расстоянию между точками касания и образует прямоугольный треугольник $ACD$.

Чтобы найти эту длину, нам нужно найти длины двух других сторон треугольника $AC$ и $AD$. Следуя правилу Пифагора, мы можем использовать следующие формулы:

$$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}$$
$$AD=\sqrt{A{B}^2-B{D}^2}$$

Теперь нам нужно найти значения $AB$, $BC$ и $BD$. Мы уже знаем, что $AB=78$, а также что $BC$ и $BD$ - это радиусы окружностей $24$ и $54$ соответственно.

Подставив полученные значения в формулы, мы можем вычислить длины $AC$ и $AD$:

$$AC=\sqrt{{78}^2-{24}^2}$$
$$AD=\sqrt{{78}^2-{54}^2}$$

Вычислив данные выражения, получим:

$$AC=\sqrt{6084-576}=\sqrt{5508}\approx 74.26$$
$$AD=\sqrt{6084-2916}=\sqrt{3168}\approx 56.29$$

Таким образом, длина внешней касательной для двух окружностей радиусами 24 и 54 составляет примерно 74.26 единицы длины.