Какова длина наименьшей высоты треугольника abc, если известно, что сторона ab равна 25 см, сторона ac равна 7

15 см?

Чтобы найти длину наименьшей высоты треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника. Площадь треугольника можно выразить как половину произведения одной из сторон треугольника на высоту, опущенную к этой стороне. Для удобства обозначим высоту треугольника через \(h\).

Используя формулу для площади треугольника, получаем:

\[Площадь = \frac{1}{2} \times \text{сторона} \times \text{высота}\]

Подставим известные значения из условия задачи и обозначения:

\[\frac{1}{2} \times 25 \times h = \text{площадь треугольника}\]

Теперь нам нужно найти площадь треугольника, чтобы найти значение высоты. Мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника по длинам его сторон.

Формула Герона имеет вид:

\[Площадь = \sqrt{s \times (s - \text{сторона1}) \times (s - \text{сторона2}) \times (s - \text{сторона3})}\]

Где \(s\) - полупериметр треугольника, который можно найти по формуле:

\[s = \frac{\text{сторона1} + \text{сторона2} + \text{сторона3}}{2}\]

Подставим известные значения и вычислим площадь:

\[Площадь = \sqrt{\frac{25 + 7 + 15}{2} \times \left(\frac{25 + 7 + 15}{2} - 25\right) \times \left(\frac{25 + 7 + 15}{2} - 7\right) \times \left(\frac{25 + 7 + 15}{2} - 15\right)}\]

\[Площадь = \sqrt{\frac{47}{2} \times \frac{47}{2} \times \frac{27}{2} \times \frac{17}{2}}\]

\[Площадь = \sqrt{\frac{47^2 \times 27 \times 17}{2^4}}\]

\[Площадь \approx \sqrt{207\ 039.75}\]

\[Площадь \approx 454.5 \text{ кв. см}\]

Теперь у нас есть значение площади треугольника. Чтобы найти высоту, мы подставим это значение в первоначальную формулу:

\[\frac{1}{2} \times 25 \times h = 454.5\]

Упростим и решим уравнение:

\[12.5h = 454.5\]

\[h = \frac{454.5}{12.5}\]

\[h \approx 36.36 \text{ см}\]

Таким образом, наименьшая высота треугольника \(abc\) составляет около 36.36 см.