Какова длина наименьшего пути из пункта A в пункт B, проходящего через пункт D и следуя только по дорогам, указанным

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо найти наименьшую длину пути от пункта A до пункта B, проходящего через пункт D и следуя только по указанным дорогам.

Для начала, давайте взглянем на таблицу с протяженностью дорог между населенными пунктами A, B, C, D и E:

\[
\begin{array}{cccc}
& A & B & C & D & E \\
A & - & 5 & 2 & 1 & - \\
B & 5 & - & - & 3 & 6 \\
C & 2 & - & - & 2 & - \\
D & 1 & 3 & 2 & - & 2 \\
E & - & 6 & - & 2 & - \\
\end{array}
\]

Мы можем использовать алгоритм Дейкстры для нахождения наикратчайшего пути. Сначала создадим пустой набор узлов для работы и инициализируем его. Затем выберем стартовый узел A и присвоим ему расстояние 0, а все остальные узлы установим на бесконечность. Это означает, что расстояние до всех узлов кроме A еще неизвестно.

Установим текущий узел равным стартовому узлу A. Для текущего узла переберем все его соседние узлы и рассмотрим путь с наименьшей стоимостью в данный момент. Если новый путь до соседнего узла короче, чем текущее расстояние до соседнего узла, обновим расстояние до этого узла новым значением.

Повторяем этот шаг для всех узлов, пока не пройдем все узлы в сети.

Итак, начнем процесс:

Шаг 1: Установим расстояния от стартового узла A до всех остальных узлов:
\[
\begin{align*}
A & : 0 \\
B & : \infty \\
C & : \infty \\
D & : \infty \\
E & : \infty \\
\end{align*}
\]

Шаг 2: Текущий узел - A. Рассмотрим его соседей:

- Сосед B: Протяженность дороги от A до B равна 5. Общая длина пути от A до B через D будет 1+3+5=9, что меньше, чем текущее значение для B. Обновим расстояние до B:
\[
\begin{align*}
A & : 0 \\
B & : 9 \\
C & : \infty \\
D & : \infty \\
E & : \infty \\
\end{align*}
\]

- Сосед C: Протяженность дороги от A до C равна 2. Мы не можем пройти от A до C через D, так как нет прямого пути. Пропустим этот сосед.

- Сосед D: Протяженность дороги от A до D равна 1. Общая длина пути от A до D через D будет 1+1=2, что меньше, чем текущее значение для D. Обновим расстояние до D:
\[
\begin{align*}
A & : 0 \\
B & : 9 \\
C & : \infty \\
D & : 2 \\
E & : \infty \\
\end{align*}
\]

- Сосед E: Протяженность дороги от A до E неизвестна, так как нет прямого пути. Пропустим этот сосед.

Шаг 3: Текущий узел - D. Рассмотрим его соседей:

- Сосед B: Протяженность дороги от D до B равна 3. Мы не можем пройти от D до B через D. Пропустим этот сосед.

- Сосед C: Протяженность дороги от D до C равна 2. Мы не можем пройти от D до C через D. Пропустим этот сосед.

- Сосед A: Протяженность дороги от D до A равна 1. Общая длина пути от D до A через D будет 1+1=2, что равно текущему значению для D. Пропустим этого соседа.

- Сосед E: Протяженность дороги от D до E равна 2. Мы не можем пройти от D до E через D. Пропустим этого соседа.

Окончательная таблица после всех шагов выглядит следующим образом:
\[
\begin{array}{cccc}
& A & B & C & D & E \\
A & 0 & 9 & \infty & 2 & \infty \\
B & 5 & 0 & \infty & 3 & 6 \\
C & 2 & \infty & 0 & 2 & \infty \\
D & 1 & 3 & 2 & 0 & 2 \\
E & \infty & 5 & \infty & 2 & 0 \\
\end{array}
\]

Таким образом, наименьшая длина пути из пункта A в пункт B, проходящего через пункт D и следуя только по указанным дорогам, составляет 9 километров.