Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника, если его площадь составляет 24, а тангенс одного из углов

Для решения данной задачи воспользуемся знаниями о прямоугольных треугольниках и формулами, связывающими его стороны и углы.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти с помощью формулы:
\[S = \frac{1}{2} \times a \times b,\]
где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Из условия задачи известно, что площадь треугольника равна 24:
\[24 = \frac{1}{2} \times a \times b.\]

Также дано, что тангенс одного из углов прямоугольного треугольника равен 1/3. Тангенс угла можно выразить как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:
\[\tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.\]

Таким образом, у нас есть тангенс и значение противолежащего катета, но нам нужно найти длину прилежащего катета (меньшего катета).

Для дальнейшего решения задачи воспользуемся формулой для тангенса:
\[\tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.\]

Подставим известные значения:
\[\frac{1}{3} = \frac{b}{a}.\]

Теперь мы имеем две уравнения:
\[
\begin{cases}
24 = \frac{1}{2} \times a \times b, \\
\frac{1}{3} = \frac{b}{a}.
\end{cases}
\]

Для решения системы уравнений используем метод подстановки или метод исключения.

Воспользуемся вторым уравнением для выражения \(b\) через \(a\):
\[b = \frac{a}{3}.\]

Подставим это выражение в первое уравнение:
\[24 = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{3}.\]

Упростим уравнение:
\[24 = \frac{a^2}{6}.\]

Перемножим обе части уравнения на 6:
\[144 = a^2.\]

Извлекая квадратный корень, получаем:
\[a = 12.\]

Таким образом, длина меньшего катета равна 12. В ответе также необходимо указать единицу измерения, например, сантиметры, если речь идет о длинах сторон.