Какова длина медианы треугольника ABC, в котором вершины заданы точками A(7, 6, -2), B(-3, 2, 6) и C(9, 0, -12)?

Чтобы найти длину медианы треугольника ABC, нам нужно сначала найти координаты точки, в которой пересекаются медианы треугольника. Медианы - это отрезки, которые соединяют вершины треугольника с серединами противоположных сторон.

Первое, что нам нужно сделать, это найти середину стороны AB. Чтобы найти середину, мы можем использовать формулу:
\[x_m = \frac{x_a + x_b}{2} \]
\[y_m = \frac{y_a + y_b}{2} \]
\[z_m = \frac{z_a + z_b}{2} \]
где \( (x_a, y_a, z_a) \) и \( (x_b, y_b, z_b) \) - координаты вершин A и B соответственно, \( (x_m, y_m, z_m) \) - координаты середины AB.

Подставим значения координат вершин A(-3,2,6) и B(7,6,-2) в эти формулы:

\[x_m = \frac{7 + (-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2\]
\[y_m = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\]
\[z_m = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Таким образом, середина стороны AB имеет координаты (2,4,2).

Аналогично, мы можем найти середину стороны AC и назвать её точкой D:

\[x_d = \frac{x_a + x_c}{2} \]
\[y_d = \frac{y_a + y_c}{2} \]
\[z_d = \frac{z_a + z_c}{2} \]

Подставим значения координат вершин A(7,6,-2) и C(9,0,-12) в эти формулы:

\[x_d = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8\]
\[y_d = \frac{6 + 0}{2} = \frac{6}{2} = 3\]
\[z_d = \frac{-2 + (-12)}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]

Таким образом, середина стороны AC имеет координаты (8,3,-7).

Теперь найдем точку пересечения медиан треугольника ABC. Для этого мы можем использовать формулу нахождения точки пересечения прямых. Нам понадобятся две прямые: прямая, проходящая через вершину B и середину стороны AC, и прямая, проходящая через вершину A и середину стороны BC.

Формула для нахождения точки пересечения прямых:

\[x_{inter} = \frac{(y_1 - y_2)(z_1 - z_3) - (z_1 - z_2)(y_1 - y_3)}{(x_1 - x_2)(y_1 - y_3) - (y_1 - y_2)(x_1 - x_3)}\]

\[y_{inter} = \frac{(z_1 - z_2)(x_1 - x_3) - (x_1 - x_2)(z_1 - z_3)}{(x_1 - x_2)(y_1 - y_3) - (y_1 - y_2)(x_1 - x_3)}\]

\[z_{inter} = \frac{(x_1 - x_2)(y_1 - y_3) - (y_1 - y_2)(x_1 - x_3)}{(x_1 - x_2)(y_1 - y_3) - (y_1 - y_2)(x_1 - x_3)}\]

где \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \) - координаты вершин B и D соответственно, а \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_3, y_3, z_3) \) - координаты вершин A и D соответственно.

Подставим значения в формулы:

\[x_{inter} = \frac{(2 - 4)(6 - (-7)) - (6 - 3)(2 - (-2))}{(-3 - 2)(6 - (-7)) - (6 - 4)(7 - (-2))} = \frac{30 - 27}{-5 - 4} = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3}\]

\[y_{inter} = \frac{(6 - 3)(9 - (-2)) - (2 - 6)(7 - (-2))}{(-3 - 2)(6 - (-7)) - (6 - 4)(7 - (-2))} = \frac{9 + 28}{-5 - 4} = \frac{37}{-9} = -\frac{37}{9}\]

\[z_{inter} = \frac{(2 - 6)(6 - (-7)) - (6 - 3)(-3 - (-2))}{(-3 - 2)(6 - (-7)) - (6 - 4)(7 - (-2))} = \frac{-16 + 9}{-5 - 4} = \frac{-7}{-9} = \frac{7}{9}\]

Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника ABC равны \(-\frac{1}{3}, -\frac{37}{9}, \frac{7}{9}\).

Чтобы найти длину медианы, нам нужно найти расстояние между точками A(7,6,-2) и точкой пересечения медиан. Формула для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Подставим значения координат в формулу:

\[d = \sqrt{(-\frac{1}{3} - 7)^2 + (-\frac{37}{9} - 6)^2 + (\frac{7}{9} - (-2))^2} = \sqrt{(\frac{-22}{3})^2 + (\frac{-91}{9})^2 + (\frac{25}{9})^2}\]

Выполняя математические вычисления:

\[d = \sqrt{\frac{484}{9} + \frac{8281}{81} + \frac{625}{81}} = \sqrt{\frac{119708}{729}} = \frac{\sqrt{119708}}{27} \approx 15.268\]

Таким образом, длина медианы треугольника ABC составляет примерно 15.268 единицы длины.