Какова длина медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, если один из катетов равен 21

Для решения данной задачи нам нужно использовать теорему Пифагора и свойства прямоугольных треугольников.

Дано, что один из катетов равен 21 дм, а гипотенуза больше него на неизвестное расстояние.

Обозначим длину катета, равного 21 дм, как \(a\) и длину гипотенузы как \(c\). Также пусть \(m\) будет длиной медианы, проведённой к гипотенузе.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) выполняется следующее равенство:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

В нашем случае, учитывая что один из катетов равен 21 дм, мы можем записать:

\[21^2 + b^2 = c^2\]

Теперь, зная что гипотенуза больше катета на неизвестное расстояние, мы можем записать:

\[21^2 + b^2 = (21 + x)^2 \]

где \(x\) - неизвестное расстояние, на которое гипотенуза больше катета.

Раскроем скобки в последнем уравнении:

\[441 + b^2 = 441 + 42x + x^2 \]

Заметим, что 441 сокращается на обеих сторонах уравнения.

\[b^2 = 42x + x^2 \]

Теперь давайте найдем длину медианы, проведенной к гипотенузе. Для этого нам понадобится использовать свойство прямоугольных треугольников, согласно которому медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее на две равные части.

Так как медиана делит гипотенузу на две равные части, мы можем записать:

\[m = \frac{c}{2}\]

Так как \(c = 21 + x\) (получено на предыдущем шаге), мы можем выразить медиану в терминах \(x\):

\[m = \frac{21 + x}{2}\]

Таким образом, длина медианы, проведенной к гипотенузе, будет равна \(\frac{21 + x}{2}\) или \(\frac{1}{2}(21 + x)\).

Поэтому, ответ на вопрос задачи: длина медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, будет равна \(\frac{1}{2}(21 + x)\) дециметров, где \(x\) - неизвестное расстояние, на которое гипотенуза больше катета.