Какова длина лопасти винта вертолета в международной системе единиц (СИ), если винт совершает 50 поворотов за 10 секунд

Для решения данной задачи, нам необходимо определить длину лопасти винта вертолета, при условии что винт совершает 50 поворотов за 10 секунд, а точки на конце винта испытывают центростремительное ускорение величиной 2 километра в секунду в квадрате.

Для начала, заметим, что каждое вращение винта вертолета соответствует обходу окружности с диаметром, равным длине лопасти винта. Поскольку винт совершает 50 поворотов за 10 секунд, то за одну секунду винт делает 5 полных оборотов. Таким образом, за одну секунду точка на конце лопасти винта проходит расстояние, равное длине окружности с диаметром, равным длине лопасти винта.

Общая формула для длины окружности выглядит следующим образом:

\[l = 2\pi r\]

где \(l\) - длина окружности, \(r\) - радиус окружности.

Радиус окружности, в данном случае, можно представить как половину длины лопасти винта. Обозначим длину лопасти винта как \(L\), тогда радиус будет равен \(R = \frac{L}{2}\). Подставим это значение в формулу для длины окружности:

\[l = 2\pi \cdot \frac{L}{2} = \pi L\]

Таким образом, мы получаем, что длина окружности, которую проходит точка на конце винта за одну секунду, равна \(\pi L\).

Следующий шаг - определить скорость точки на конце винта. У нас дано, что точка испытывает центростремительное ускорение \(a = 2 \, \text{км/с}^2\). Мы знаем, что ускорение можно определить как вторую производную от координаты по времени. В данном случае, скорость - это первая производная от координаты, то есть:

\[a = \frac{v^2}{r}\]

где \(v\) - скорость точки, \(r\) - радиус окружности (длина лопасти винта).

Мы можем переписать это соотношение следующим образом:

\[v = \sqrt{ar}\]

Теперь мы можем подставить известные значения и решить уравнение. Заметим, что ускорение дано в километрах в секунду в квадрате, поэтому для консистентности, мы должны выразить длину лопасти винта в километрах также. Тогда длина лопасти винта будет равна:

\[L = \frac{v^2}{a}\]

где \(v\) - скорость точки, \(a\) - ускорение точки.

Подставляем значения:

\[L = \frac{\left(2 \, \text{км/с}\right)^2}{2 \, \text{км/с}^2} = \frac{4 \, \text{км}^2/\text{с}^2}{2 \, \text{км/с}^2} = 2 \, \text{км}\]

Таким образом, длина лопасти винта вертолета в международной системе единиц составляет 2 километра.