Какова длина катета в прямоугольном треугольнике АСВ, если угол С = 90 градусов, угол А = 30 градусов, точка

Дано: в прямоугольном треугольнике \(АСВ\) угол \(\angle С = 90^\circ\), угол \(\angle А = 30^\circ\), точка \(Е\) на катете \(АС\) образует угол \(\angle ВЕС = 60^\circ\) и \(ЕС = 8\) см.

Мы можем использовать свойство синуса для нахождения длинны катета \(АС\).

Свойство синуса утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла равно одной и той же постоянной величине. То есть, в случае нашего треугольника, \(\frac{{AB}}{{\sin(30^\circ)}} = \frac{{AC}}{{\sin(60^\circ)}}\).

Известно, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\) и \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляя значения, получаем \(\frac{{AB}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{AC}}{{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\).

Упрощая выражение получаем \(AB = \frac{{2AC}}{{\sqrt{3}}}\).

Далее, мы знаем, что \(ES\) -- катет прямоугольного треугольника \(АЕС\), а \(EC\) -- его гипотенуза. Из угла \(\angle ВЕС\) следует, что \(\angle СЕВ = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

Замечаем, что треугольники \(АСB\) и \(АЕС\) подобные, так как у них углы одинаковы. Также, треугольники \(АСВ\) и \(АСЕ\) подобные, так как у них также углы одинаковы. Используя свойство подобных треугольников, можно записать пропорции:

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{ES}}{{EC}}\),

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{8}}{{AC}} = \frac{{ES}}{{EC}}\).

Теперь мы можем подставить выражение для \(AB\) из первой пропорции и решить ее относительно \(AC\):

\(\frac{{2AC}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{8}}{{AC}}\).

Умножаем обе стороны уравнения на \(\sqrt{3}\):

\(2AC = \frac{{8\sqrt{3}}}{{AC}}\).

Умножаем обе стороны на \(AC\):

\(2AC^2 = 8\sqrt{3}\).

Делим обе стороны на 2:

\(AC^2 = 4\sqrt{3}\).

Чтобы найти длину катета \(АС\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\(AC = \sqrt{4\sqrt{3}}\).

Упрощая выражение получаем:

\(AC = \sqrt{4} \cdot \sqrt{\sqrt{3}} = 2\sqrt[4]{3}\).

Таким образом, длина катета \(АС\) в прямоугольном треугольнике \(АСВ\) равна \(2\sqrt[4]{3}\) сантиметра.