Какова длина катета прямоугольного треугольника, противолежащего другому острому углу, если один из углов составляет

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой синусов, которая устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами его углов.

Пусть длина гипотенузы равна \(c\), длина противолежащего острого угла катета равна \(a\), а длина катета, противолежащего прямому углу, равна \(b\).

Согласно теореме синусов, имеем следующее соотношение:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\]

где \(A\) и \(C\) - углы треугольника, а \(A\) - острый угол, равный 60 градусов.

В нашем случае, прямой угол составляет 90 градусов, и противолежащий ему катет равен \(b\). Следовательно, у нас имеется прямоугольный треугольник, где \(A\) = 60 градусов, \(C\) = 90 градусов, \(a\) - длина противолежащего острого угла катета, \(b\) - искомая длина катета, противолежащего прямому углу, и \(c\) - длина гипотенузы.

Таким образом, подставляя данную информацию в теорему синусов, получаем:

\[\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 90^\circ}\]

Раз выражение \(\sin 90^\circ\) равно 1, упростим уравнение:

\[\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{c}{1}\]

\[\frac{2a}{\sqrt{3}} = c\]

Теперь нам нужно выразить длину катета \(b\) через длину гипотенузы \(c\). Используя теорему Пифагора, можем записать:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Так как \(c\) равно длине гипотенузы и мы уже выразили \(a\) через \(c\), можем подставить соответствующие значения и решить уравнение относительно \(b\):

\[(\frac{2a}{\sqrt{3}})^2 = a^2 + b^2\]

\[\frac{4a^2}{3} = a^2 + b^2\]

\[\frac{a^2}{3} = b^2\]

\[b = \sqrt{\frac{a^2}{3}}\]

Таким образом, длина катета \(b\) прямоугольного треугольника, противолежащего прямому углу, равна \(\sqrt{\frac{a^2}{3}}\).