Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого площадь равна 9 корням из 3/2 и один из острых углов

Для решения данной задачи, воспользуемся теоремой Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначим длину гипотенузы за \(c\), а длины катетов за \(a\) и \(b\). Тогда у нас есть следующие сведения:

Площадь прямоугольного треугольника равна \(\frac{1}{2}ab\).

Один из острых углов равен 30°, что означает, что соответствующий катет равен \(\frac{1}{2}\) гипотенузы. То есть \(a = \frac{1}{2}c\).

Подставим эти значения в формулу площади:

\[\frac{1}{2}ab = 9\sqrt{\frac{3}{2}}\]

Теперь заменим \(a\) на \(\frac{1}{2}c\):

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}c \cdot b = 9\sqrt{\frac{3}{2}}\]

Упростим выражение:

\[\frac{1}{4}cb = 9\sqrt{\frac{3}{2}}\]

Теперь можем выразить \(b\) через \(c\):

\[b = \frac{36\sqrt{\frac{3}{2}}}{c}\]

Вспомним теорему Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Подставим найденные значения:

\[c^2 = \left(\frac{1}{2}c\right)^2 + \left(\frac{36\sqrt{\frac{3}{2}}}{c}\right)^2\]

Раскроем скобки, чтобы упростить выражение:

\[c^2 = \frac{1}{4}c^2 + \frac{1296 \cdot \frac{3}{2}}{c^2}\]

Домножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[4c^2 = c^2 + \frac{7776}{c^2}\]

Теперь упростим выражение и приведём его к квадратному уравнению:

\[3c^2 = \frac{7776}{c^2}\]

\[3c^4 = 7776\]

Сократим на 3 обе части уравнения:

\(c^4 = 2592\)

Возьмём четвёртый корень от обеих частей:

\(c = \sqrt[4]{2592} = 6\)

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 6.