Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого площадь равна 49 корня из 3 2 и один из острых углов

Чтобы найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника с заданными условиями, нам нужно использовать известные свойства прямоугольных треугольников и формулу для нахождения площади.

Для начала, давайте определим, какие стороны треугольника являются катетами, а какая сторона – гипотенузой. Учитывая, что один из острых углов равен 60°, мы можем сказать, что этот угол лежит против катета треугольника, а другой острый угол, а следовательно, и другой катет, равным 90° - 60° = 30°.

Зная, что площадь треугольника равна \(49\sqrt{3}/2\), мы можем использовать формулу для нахождения площади прямоугольного треугольника:

\(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{катет} \times \text{катет}\)

В данном случае, мы знаем площадь и один катет треугольника, поэтому мы можем записать уравнение:

\(\frac{1}{2} \times x^2 = \frac{49\sqrt{3}}{2}\)

где x - длина катета (неизвестная величина).

Для решения этого уравнения, давайте воспользуемся алгеброй:

\(\frac{1}{2} \times x^2 = \frac{49\sqrt{3}}{2}\)

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\(x^2 = 49\sqrt{3}\)

Теперь возьмем корень из обеих сторон уравнения:

\(x = \sqrt{49\sqrt{3}}\)

Сокращаем корень:

\(x = \sqrt{49} \cdot \sqrt{\sqrt{3}}\)

Упростим первый корень:

\(x = 7 \cdot \sqrt{\sqrt{3}}\)

Таким образом, длина катета равна \(7 \cdot \sqrt{\sqrt{3}}\). Однако, нам нужно найти длину гипотенузы. Для этого используем Теорему Пифагора, которая гласит: \(c^2 = a^2 + b^2\), где c - гипотенуза, a и b - катеты.

Подставим полученное значение катета, а также используем тот факт, что в прямоугольном треугольнике катеты и гипотенуза связаны таким образом, что гипотенуза является удвоенной длиной одного из катетов:

\(c^2 = (2 \cdot 7 \cdot \sqrt{\sqrt{3}})^2\)

\(c^2 = 4 \cdot 49 \cdot \sqrt{\sqrt{3}}^2\)

\(c^2 = 196 \cdot \sqrt{\sqrt{3}}^2\)

\(c^2 = 196 \cdot (\sqrt{3})^2\)

\(c^2 = 196 \cdot 3\)

\(c^2 = 588\)

Итак, мы нашли квадрат гипотенузы (\(c^2\)) - это 588. Чтобы найти длину гипотенузы (\(c\)), возьмем корень из обеих сторон уравнения:

\(c = \sqrt{588}\)

\(\mathbf{c = 2\sqrt{147}}\) (ответ)