Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника с площадью 25 корней из 3, деленную на 2, и одним из острых углов

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника. Формула гласит:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

где \(c\) - длина гипотенузы, \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.

На данный момент у нас нет информации о длинах катетов, но у нас есть площадь треугольника и один из острых углов. Давайте найдем недостающую информацию.

Мы можем начать с площади треугольника, которая равна 25 корней из 3, деленную на 2. Площадь треугольника определяется следующей формулой:

\[S = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin{C}\]

где \(S\) - площадь, \(a\) и \(b\) - длины катетов, \(C\) - острый угол треугольника.

Дано, что \(S = \frac{25\sqrt{3}}{2}\), и мы знаем, что один из острых углов равен 30⁰. Заметим, что при этом значении угла и площади треугольника формула принимает следующий вид:

\(\frac{25\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin{30^\circ}\)

Далее, чтобы упростить решение, мы знаем, что \(\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}\). Подставим это значение и решим уравнение:

\(\frac{25\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \frac{1}{2}\)

\(\frac{25\sqrt{3}}{2} = \frac{ab}{4}\)

Теперь мы можем выразить длину одного из катетов через второй. Пусть \(b = x\), тогда \(a = 4 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{2x}\).

Таким образом, мы получили связь между длинами катетов в прямоугольном треугольнике. Для нахождения длины гипотенузы \(c\) нам необходимо подставить найденные выражения для \(a\) и \(b\) в формулу для гипотенузы и упростить ее:

\[c = \sqrt{ab}\]

\[c = \sqrt{\left( 4 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{2x} \right) \cdot x}\]

\[c = \sqrt{2 \cdot 25\sqrt{3}}\]

Теперь остается только упростить выражение под корнем:

\[c = \sqrt{2 \cdot 25\sqrt{3}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{25\sqrt{3}} = \sqrt{2} \cdot 5\sqrt[4]{3}\]

Итак, получаем, что длина гипотенузы данного прямоугольного треугольника равна \(5\sqrt{2\sqrt{3}}\).