Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если один из его углов равен 60 градусов, а сумма гипотенузы

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о правиле синусов и основных свойствах прямоугольных треугольников.

Давайте обозначим гипотенузу треугольника за \(c\), а меньший катет за \(a\).

Из условия задачи, у нас есть следующая информация:

Угол одного из углов треугольника равен 60 градусов. Обозначим этот угол за \(A\).

Сумма гипотенузы и меньшего катета составляет 25,2. Мы можем записать это как уравнение:

\[c + a = 25,2\] ---(1)

Выразим меньший катет \(a\) через гипотенузу \(c\), используя теорему Пифагора:
\[a = c \sin A\]

Подставим выражение для \(a\) в уравнение (1):
\[c + c \sin A = 25,2\]

Формула синуса для угла 60 градусов дает нам:
\[\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Подставим это значение в уравнение:
\[c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25,2\]

Упростим уравнение:
\[c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 25,2\]
\[c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 25,2\]
\[c = \frac{25,2}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}\]
\[c = \frac{25,2 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}}\]

Чтобы упростить это выражение, произведем умножение числителя и знаменателя на сопряженное значение знаменателя:
\[c = \frac{25,2 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}\]
\[c = \frac{50,4 - 25,2 \cdot \sqrt{3}}{4 - 3}\]
\[c = \frac{50,4 - 25,2 \cdot \sqrt{3}}{1}\]
\[c = 50,4 - 25,2 \cdot \sqrt{3}\]

Итак, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна \(50,4 - 25,2 \cdot \sqrt{3}\).