Какова длина дуги заданной кривой с параметрическими уравнениями x=4cos^3

Question

Математика: Какова длина дуги заданной кривой с параметрическими уравнениями x=4cos^3 t, y=4sin^3

Skazochnyy_Fakir · Accepted Answer

Для нахождения длины дуги кривой с параметрическими уравнениями, нам понадобится использовать формулу длины дуги:

\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt \]

где \( \left(\frac{dx}{dt}\right) \) и \( \left(\frac{dy}{dt}\right) \) - это производные x и y соответственно, выраженные относительно параметра t.

В нашем случае, у нас есть параметрические уравнения для x и y:

\[ x = 4\cos^3 t \]
\[ y = 4\sin^3 t \]

Давайте найдем производные \( \left(\frac{dx}{dt}\right) \) и \( \left(\frac{dy}{dt}\right) \):

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4\cos^3 t) \]
\[ \frac{dx}{dt} = -12\cos^2 t \cdot \sin t \]

\[ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(4\sin^3 t) \]
\[ \frac{dy}{dt} = 12\sin^2 t \cdot \cos t \]

Теперь подставим производные в формулу длины дуги и проинтегрируем от \( t_1 \) до \( t_2 \):

\[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(-12\cos^2 t \cdot \sin t\right)^2 + \left(12\sin^2 t \cdot \cos t\right)^2} \, dt \]

Обратите внимание, что \( t_1 \) и \( t_2 \) - это значения параметра t, которые соответствуют начальной и конечной точкам кривой.

После интегрирования этого выражения мы получим длину дуги заданной кривой.

Я могу вычислить это выражение для вас, если вы предоставите значения \( t_1 \) и \( t_2 \).

Какова длина дуги заданной кривой с параметрическими уравнениями x=4cos^3 t, y=4sin^3

Skazochnyy_Fakir

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!