Какова длина другого катета прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиусом 13,5 см, если один из катетов

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанного прямоугольного треугольника.

Вспомним, что вписанный прямоугольный треугольник - это такой треугольник, у которого прямой угол лежит на окружности.

По свойству вписанного угла, половина дуги, заключенная между концами прямого угла, равна величине этого угла:

\[\frac{x}{2} = 90^\circ,\]

где \(x\) - величина угла.

Так как сумма всех углов в треугольнике равна \(180^\circ\), а прямой угол составляет \(90^\circ\), то для нахождения значения оставшегося угла \(y\) мы можем воспользоваться равенством:

\[90^\circ + x + y = 180^\circ.\]

Выразим \(y\) из этого равенства:

\[y = 180^\circ - 90^\circ - x = 90^\circ - x.\]

Теперь мы имеем второй угол в треугольнике.

Осталось воспользоваться теоремой Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[c^2 = a^2 + b^2,\]

где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

Мы знаем, что один из катетов равен 15 см, обозначим его \(a\), а другой катет - \(b\) (который нам нужно найти).

Упростим формулу:

\[c^2 = 15^2 + b^2,\]

где \(c\) - радиус окружности, в которую вписан треугольник, а также гипотенуза треугольника.

Подставим значение радиуса окружности \(c = 13.5 \, \text{см}\):

\[13.5^2 = 15^2 + b^2.\]

Решим это уравнение:

\[182.25 = 225 + b^2.\]

Вычтем 225 из обеих частей уравнения:

\[b^2 = 182.25 - 225 = -42.75.\]

Так как нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа, это означает, что такого треугольника не существует. Получается, что треугольник со сторонами 15 см, 15 см и другим катетом не может вписаться в окружность радиусом 13.5 см.

Итак, ответ: другой катет невозможно определить.