Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда с периметром основания 16 см, площадью полной поверхности

Чтобы определить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, нам понадобится использовать данные о периметре основания, площади полной поверхности и объеме.

1. Начнем с формулы для периметра прямоугольника. Пусть длина прямоугольника будет \(a\), а ширина - \(b\). Тогда периметр прямоугольника, который является основанием параллелепипеда, равен \(2(a + b) = 16\).

2. Мы можем решить это уравнение для одной переменной, чтобы найти отношение между \(a\) и \(b\):
\[a + b = 8\]
Решим это уравнение относительно \(a\):
\[a = 8 - b\]

3. Теперь нам понадобится формула для площади поверхности параллелепипеда. Полная поверхность состоит из двух оснований и четырех боковых граней. Пусть длина параллелепипеда будет \(l\), ширина - \(w\), а высота - \(h\). Тогда площадь поверхности будет:
\[2lw + 2lh + 2wh = 142\]

4. Также у нас есть формула для объема параллелепипеда:
\[lwh = 105\]

5. Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить, чтобы найти значения \(l\), \(w\) и \(h\). Но чтобы найти длину диагонали, нам необходимо решить уравнения для \(a\) и \(b\) из пункта 2, чтобы выразить \(l\), \(w\) и \(h\) через \(a\) и \(b\). Мы заменим переменные и решим систему уравнений.

6. Подставим \(a = 8 - b\) в уравнения из пункта 3 и 4 и решим систему уравнений с ответом:

\[
\begin{align*}
2(8 - b)w + 2(8 - b)h + 2wh &= 142 \\
(8 - b)wh &= 105
\end{align*}
\]

7. Решим первое уравнение относительно \(w\) и \(h\):

\[
\begin{align*}
16w - 2bw + 16h - 2bh + 2wh &= 142 \\
2wh - 2bw - 2bh + 16w + 16h &= 142 \\
wh - bw - bh + 8w + 8h &= 71
\end{align*}
\]

8. Решим второе уравнение относительно \(h\):

\[
\begin{align*}
(8 - b)wh &= 105 \\
8wh - bwh &= 105 \\
wh &= \frac{105}{8 - b}
\end{align*}
\]

9. Подставим это значение в первое уравнение:

\[
\begin{align*}
\frac{105}{8 - b} - bw - b\left(\frac{105}{8 - b}\right) + 8w + 8\left(\frac{105}{8 - b}\right) &= 71 \\
\frac{105}{8 - b} - \frac{bw(8 - b)}{8 - b} - \frac{b \cdot 105}{8 - b} + 8w + \frac{8 \cdot 105}{8 - b} &= 71 \\
\frac{105}{8 - b} + 8w &= 71 \\
\frac{105}{8 - b} - 71 &= -8w \\
w &= \frac{71 \cdot (8 - b) - 105}{8}
\end{align*}
\]

10. Теперь, когда у нас есть \(w\), мы можем найти \(h\) с использованием уравнения из пункта 8:

\[
\begin{align*}
h &= \frac{105}{8 - b \cdot w}
\end{align*}
\]

11. Подставим значения \(w\) и \(h\) в уравнение для нахождения \(l\) из пункта 4:

\[
\begin{align*}
l &= \frac{105}{w \cdot h}
\end{align*}
\]

12. Теперь, когда у нас есть значения \(l\), \(w\) и \(h\), мы можем найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда. Диагональ это гипотенуза прямоугольного треугольника, где стороны равны \(l\), \(w\) и \(h\). Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину диагонали:

\[
\begin{align*}
\text{Длина диагонали} &= \sqrt{l^2 + w^2 + h^2}
\end{align*}
\]

Таким образом, чтобы определить длину диагонали прямоугольного параллелепипеда с периметром основания 16 см, площадью полной поверхности 142 и объемом 105, необходимо решить систему уравнений, чтобы найти значения \(l\), \(w\) и \(h\), а затем подставить их в формулу для длины диагонали.