Какова длина диагонали параллелепипеда, если меньшая сторона основания равна 3 м, высота - 4 м, и диагональ образует

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и знанием тригонометрии. Давайте начнем.

По условию задачи, меньшая сторона основания параллелепипеда равна 3 м, а высота равна 4 м. Обозначим стороны параллелепипеда следующим образом:
Длина большей стороны основания: \(a\)
Длина меньшей стороны основания: \(b\)
Высота: \(h\)
Длина диагонали: \(D\)

Запишем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников, образованных диагональю и боковой стороной параллелепипеда:
\[D^2 = a^2 + b^2 \quad (1)\]

Далее, у нас есть информация, что диагональ образует угол 45° с меньшей боковой гранью. Это означает, что можно использовать тригонометрический косинус угла 45°:
\(\cos 45° = \frac{b}{D}\)

Так как угол 45° является особенным и его косинус равен \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), мы можем записать:
\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{b}{D}\)

Домножим обе части уравнения на \(D\), чтобы избавиться от знаменателя:
\(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot D = b\)

Теперь мы можем подставить полученное значение \(b\) в уравнение (1):
\[D^2 = a^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot D\right)^2\]

Упростим это уравнение:
\[D^2 = a^2 + \frac{D^2}{2}\]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:
\[2D^2 = 2a^2 + D^2\]

Теперь сложим \(D^2\) с обеих сторон уравнения:
\[D^2 = 2a^2\]

Избавимся от квадрата, извлекая квадратный корень из обеих сторон:
\[D = \sqrt{2a^2}\]

Упростим выражение с корнем:
\[D = \sqrt{2} \cdot a\]

Теперь мы можем записать значение стороны основания параллелепипеда, зная, что меньшая сторона равна 3 м:
\[D = \sqrt{2} \cdot 3\]

Вычислим значение:
\[D = 3\sqrt{2} \approx 4.24 \ м\]

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда составляет примерно 4.24 метра.