Какова длина диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD с биссектрисой угла A, равным 45°, и меньшим основанием трапеции

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах прямоугольной трапеции и теореме синусов.

Во-первых, поскольку прямоугольная трапеция имеет один прямой угол, мы можем сказать, что каждая пара оснований (малое основание и большее основание) образует прямой угол. Следовательно, угол A и угол BDC (углы, образованные основанием и диагональю) являются смежными углами.

Угол A равен 45°, что означает, что угол BDC также равен 45°.

Теперь использовав теорему синусов, мы можем определить отношение между стороной прямоугольной трапеции и синусом угла BDC. Формула для теоремы синусов выглядит следующим образом:

\[\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}\]

Где a, b, c - стороны треугольника, а α, β, γ - соответствующие углы.

Мы знаем, что длина стороны AC (меньшее основание) равна 7√. Из теоремы синусов мы также знаем, что соотношение между диагональю BD и синусом угла BDC равно:

\[\frac{BD}{\sin(45°)} = \frac{AC}{\sin(BDC)}\]

Поскольку угол BDC также равен 45°, мы можем записать:

\[\frac{BD}{\sin(45°)} = \frac{AC}{\sin(45°)}\]

Теперь мы можем подставить известные значения в формулу:

\[\frac{BD}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{7\sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\]

Сокращаем корни и получаем:

\[BD = 7\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 7 \times 2 = 14\]

Таким образом, длина диагонали BD прямоугольной трапеции ABCD равна 14.