Какова длина части окружности с радиусом 12 см, если ее угловая мера составляет 135 градусов?

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу для длины дуги окружности. Формула звучит следующим образом:

\[Длина\ дуги = \dfrac{{\text{угловая\ мера}}}{{360^\circ}} \times 2\pi \times \text{радиус}\]

В данной задаче угловая мера составляет 135 градусов, а радиус равен 12 см. Подставляем эти значения в формулу:

\[Длина\ дуги = \dfrac{{135^\circ}}{{360^\circ}} \times 2\pi \times 12\]

Переведем угловую меру в радианы, так как в формуле необходимо использовать радианы, а не градусы. Для этого воспользуемся формулой:

\[Угол\ в\ радианах = \dfrac{{\text{угловая\ мера} \times \pi}}{{180^\circ}}\]

\[Угол\ в\ радианах = \dfrac{{135^\circ \times \pi}}{{180^\circ}}\]

Вычислим значение угла в радианах:

\[Угол\ в\ радианах = \dfrac{{135 \cdot \pi}}{{180}}\]

Теперь мы можем подставить полученное значение угла в формулу для длины дуги окружности:

\[Длина\ дуги = \dfrac{{\dfrac{{135 \cdot \pi}}{{180}}}}{{360^\circ}} \times 2\pi \times 12\]

Упростим выражение:

\[Длина\ дуги = \dfrac{{135 \cdot \pi \cdot 2 \cdot 12}}{{180 \cdot 360}}\]

Вычислим значение выражения:

\[Длина\ дуги = \dfrac{{\pi \cdot 135 \cdot 24}}{{180 \cdot 360}}\]

Упростим дальше:

\[Длина\ дуги = \dfrac{{\pi \cdot 1080}}{{180 \cdot 360}}\]

\[Длина\ дуги = \dfrac{{1080\pi}}{{64800}}\]

Это десятичное значение для длины дуги окружности. Если мы хотим получить ответ в виде десятичной дроби или приближенно, то нужно либо вычислить точное значение числа \(\pi\) (3.141592653589793238...) и продолжить вычисления, либо округлить значение числа \(\pi\) до нужной десятичной дроби.

Таким образом, длина части окружности с радиусом 12 см и угловой мерой 135 градусов равна \(\dfrac{{1080\pi}}{{64800}}\) (в десятичной дроби) или можно использовать более точное значение числа \(\pi\), чтобы получить точный ответ.