Какова длина боковой стороны равнобедренного треугольника, у которого площадь равна 9 и угол при основании равен 30°?

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся известной формулой для площади треугольника \(S\):

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,\]

где \(a\) - длина основания треугольника, \(h\) - высота треугольника, соответствующая основанию \(a\).

У нас есть площадь треугольника, равная 9, и нам нужно определить длину боковой стороны \(a\). Также, угол при основании равен 30°. Давайте разберемся с этими данными.

Поскольку треугольник равнобедренный, то у него две равные боковые стороны и одна сторона, называемая основанием, отличается от них. Пусть \(a\) - длина боковой стороны, а \(b\) - длина основания треугольника.

Нам также нужно определить высоту треугольника. Для этого воспользуемся свойством равнобедренного треугольника: высота, опущенная из вершины, перпендикулярна к основанию и делит его на две равные части.

Теперь построим высоту треугольника и обозначим ее как \(h\). Поскольку у нас равнобедренный треугольник, это означает, что \(h\) будет одновременно являться биссектрисой угла при основании, что дает нам два равных треугольника.

Следовательно, мы можем разделить равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника. Теперь давайте решим один из этих прямоугольных треугольников.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\), где \(AB\) - основание и \(CD\) - высота, у нас есть следующие данные:

\(AB = b\) - длина основания,
\(CD = h\) - высота,
\(\angle BAC = 30°\) - угол при основании.

С помощью тригонометрических соотношений мы можем выразить длины сторон треугольника через заданные данные.

Сначала, нам понадобится функция синуса:

\(\sin(\angle BAC) = \frac{CD}{AB}.\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\sin(30°) = \frac{h}{b}.\)

Так как \(\sin(30°) = \frac{1}{2},\) заменим в уравнении:

\(\frac{1}{2} = \frac{h}{b}.\)

Отсюда можно выразить высоту треугольника \(h\) через длину основания \(b\):

\(h = \frac{b}{2}.\)

Теперь вернемся к самому треугольнику. Мы знаем, что площадь равна 9:

\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = 9.\)

Подставим полученное выражение для высоты:

\(\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{b}{2} = 9.\)

Упростим уравнение и умножим обе части на 2:

\(a \cdot \frac{b}{2} = 18.\)

Теперь выразим длину боковой стороны \(a\):

\(a = \frac{36}{b}.\)

Мы знаем, что угол при основании равен 30°. Снова воспользуемся тригонометрическими соотношениями:

\(\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{BC}.\)

Заметим, что \(BC = 2 \cdot a\) (так как у треугольника две равные боковые стороны), поэтому:

\(\cos(30°) = \frac{b}{2a}.\)

Подставляем полученное выражение для \(a\):

\(\cos(30°) = \frac{b}{2 \cdot \frac{36}{b}}.\)

Упростим уравнение:

\(\cos(30°) = \frac{b^2}{72}.\)

Находим косинус 30°:

\(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}.\)

Подставляем полученное значение и решаем уравнение:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{b^2}{72}.\)

Домножаем обе части на 72 и извлекаем корень:

\(b^2 = \frac{72 \cdot \sqrt{3}}{2}.\)

Упрощаем:

\(b^2 = 36 \cdot \sqrt{3}.\)

Извлекаем корень:

\(b = \sqrt{36 \cdot \sqrt{3}}.\)

Теперь зная длину основания \(b\), мы можем найти длину боковой стороны \(a\):

\(a = \frac{36}{\sqrt{36 \cdot \sqrt{3}}}.\)

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника при данных условиях составляет \(\frac{36}{\sqrt{36 \cdot \sqrt{3}}}\).

Надеюсь, это детальное объяснение поможет вам понять процесс решения задачи. Если у вас возникнут еще вопросы или требуется дополнительная помощь, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!