Какова длина боковой грани правильной треугольной пирамиды, если ее боковая поверхность составляет 60√3 см^2, а полная

Давайте решим эту задачу!

Длина боковой грани правильной треугольной пирамиды обозначена буквой \(a\).

У нас есть две известные величины: площадь боковой поверхности и полная поверхность пирамиды.

Задача говорит нам, что боковая поверхность равна 60√3 см². Найдем формулу для площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:
\[S_{\text{бп}} = \dfrac{a \cdot P}{2}\],
где \(P\) - периметр основания пирамиды.

Заметим, что у правильного треугольника все стороны равны. Обозначим длину его стороны через \(s\). Тогда периметр можно найти как:
\[P = 3 \cdot s\].

Подставим это значение периметра в формулу для площади боковой поверхности:
\[S_{\text{бп}} = \dfrac{a \cdot (3s)}{2}.\]

Следовательно, задача может быть записана следующим образом:
\[60\sqrt{3} = \dfrac{a \cdot (3s)}{2}.\]

Теперь давайте решим ту же задачу для полной поверхности пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из боковых граней и основания. У нас правильная треугольная пирамида, поэтому основание также является правильным треугольником.

Площадь боковых граней равна площади боковой поверхности, а площадь основания можно найти по формуле для площади треугольника.

Формула для площади треугольника с известной стороной \(s\) выглядит следующим образом:
\[S_{\text{осн}} = \dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}.\]

Так как у нас правильный треугольник, площадь основания будет равна площади одной его стороны:
\[S_{\text{осн}} = \dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}.\]

Следовательно, площадь полной поверхности пирамиды может быть записана следующим образом:
\[108\sqrt{3} = 60\sqrt{3} + 3 \cdot \dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}.\]

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем решить одновременно. Подставим значение площади боковой поверхности из первого уравнения во второе уравнение:
\[108\sqrt{3} = 60\sqrt{3} + 3 \cdot \dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}.\]

Теперь объединим подобные члены:
\[108\sqrt{3} - 60\sqrt{3} = 3 \cdot \dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}.\]
\[48\sqrt{3} = \dfrac{3s^2\sqrt{3}}{4}.\]

Далее, избавимся от корня на обеих сторонах уравнения:
\[48 = \dfrac{3s^2}{4}.\]

Мы можем упростить это уравнение, умножив обе стороны на \(\dfrac{4}{3}\):
\[\dfrac{4}{3} \cdot 48 = s^2.\]
\[64 = s^2.\]

Из этого уравнения можно найти длину стороны \(s\) основания треугольной пирамиды:
\[s = \sqrt{64}.\]
\[s = 8.\]

Теперь, когда у нас есть значение длины стороны основания пирамиды, мы можем найти длину боковой грани \(a\). Вспомним формулу для площади боковой поверхности пирамиды:
\[60\sqrt{3} = \dfrac{a \cdot (3s)}{2}.\]

Для нахождения длины боковой грани \(a\) мы можем подставить известные значения:
\[60\sqrt{3} = \dfrac{a \cdot (3 \cdot 8)}{2}.\]

Упростим это уравнение:
\[60\sqrt{3} = \dfrac{24a}{2}.\]
\[60\sqrt{3} = 12a.\]

Избавимся от коэффициента 12, разделив обе стороны уравнения на 12:
\[\dfrac{60\sqrt{3}}{12} = a.\]
\[5\sqrt{3} = a.\]

Таким образом, длина боковой грани правильной треугольной пирамиды равна \(5\sqrt{3}\) см.