Какова длина биссектрисы al треугольника, образованного вершинами a(4; 0; 1), b(5; -2; 1), c(4

Для решения этой задачи нам потребуется использовать расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве. Длина биссектрисы \(AL\) треугольника \(ABC\) может быть найдена с использованием следующего шагового решения.

Шаг 1: Найдем середину отрезка \(BC\).
Середина отрезка \(BC\) может быть найдена следующим образом:
\[M = \left(\frac{{x_b + x_c}}{2}, \frac{{y_b + y_c}}{2}, \frac{{z_b + z_c}}{2}\right)\]

Подставляя значения вершин \(B(5,-2,1)\) и \(C(4,3,2)\), мы найдем \(M\) следующим образом:
\[M = \left(\frac{{5 + 4}}{2}, \frac{{-2 + 3}}{2}, \frac{{1 + 2}}{2}\right)\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[M = (4.5, 0.5, 1.5)\]

Шаг 2: Найдем векторы \(AM\), \(AB\) и \(AC\).
Для нахождения вектора между двумя точками можно использовать следующую формулу:
\[\overrightarrow{AB} = \left(x_b - x_a, y_b - y_a, z_b - z_a\right)\]
\[\overrightarrow{AC} = \left(x_c - x_a, y_c - y_a, z_c - z_a\right)\]
\[\overrightarrow{AM} = \left(x_m - x_a, y_m - y_a, z_m - z_a\right)\]

Подставляя значения вершин \(A(4,0,1)\), \(B(5,-2,1)\), \(C(4,3,2)\) и \(M(4.5,0.5,1.5)\), мы находим:
\[\overrightarrow{AB} = (5 - 4, -2 - 0, 1 - 1) = (1, -2, 0)\]
\[\overrightarrow{AC} = (4 - 4, 3 - 0, 2 - 1) = (0, 3, 1)\]
\[\overrightarrow{AM} = (4.5 - 4, 0.5 - 0, 1.5 - 1) = (0.5, 0.5, 0.5)\]

Шаг 3: Найдем длину биссектрисы \(AL\).
Длина биссектрисы \(AL\) может быть найдена с использованием следующей формулы:
\[d = \frac{{2 \cdot |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| + |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{AC}| + |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AM}|}}\]

Подстановка значений, полученных в шаге 2, дает:
\[d = \frac{{2 \cdot |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}}{{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| + |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{AC}| + |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AM}|}} = \frac{{2 \cdot 0.5 \cdot \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2}}}{{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} \cdot \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2} + 0.5 \cdot \sqrt{0^2 + 3^2 + 1^2} + \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2} \cdot 0.5}}\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[d \approx 1.166\]

Таким образом, длина биссектрисы \(AL\) треугольника \(ABC\), образованного вершинами \(A(4,0,1)\), \(B(5,-2,1)\) и \(C(4,3,2)\), приближенно равна 1.166.