Какова циркуляция магнитной индукции по квадратному контуру со стороной а, через который проходит прямой провод с током

Для решения данной задачи, мы можем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который описывает магнитное поле прямого провода с током.

Закон Био-Савара-Лапласа гласит, что магнитное поле \(\vec{B}\) в точке, находящейся на расстоянии \(r\) от прямого провода, пропорционально току провода \(I\), а также обратно пропорционально расстоянию до провода.

Мы можем выразить магнитное поле с использованием этой формулы:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{Id\vec{l} \times \vec{r}}}{{r^2}}\]

где \(\mu_0\) - магнитная постоянная, \(Id\vec{l}\) - элементарный вектор тока, \(\vec{r}\) - вектор, направленный от элемента провода к точке, где мы хотим найти магнитное поле.

Теперь рассмотрим квадратный контур со стороной \(a\), через который проходит прямой провод с током \(2I\) на расстоянии \(a\) от его центра. Рассмотрим одну из сторон квадрата и найдем циркуляцию магнитной индукции вдоль этой стороны.

Для этого, разделим сторону квадрата на очень маленькие элементы провода \(dl\) и найдем дифференциальную циркуляцию этого элемента по формуле:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{2I dl \times \vec{r}}}{{r^2}}\]

Поскольку мы рассматриваем квадратный контур, все элементы провода, расположенные симметрично относительно центра, будут создавать магнитные поля, направленные в разные стороны, и все эти магнитные поля суммируются. Таким образом, мы можем интегрировать дифференциальные циркуляции для каждого элемента провода по всей стороне квадрата.

Чтобы найти циркуляцию магнитной индукции по всему контуру, мы должны пройти по всем сторонам квадрата и сложить все циркуляции. Поскольку квадрат имеет четыре стороны, магнитная индукция \(\vec{B}\) по всем четырем сторонам будет суммироваться.

Теперь мы можем записать формулу для циркуляции магнитной индукции по всему контуру квадрата со стороной \(a\):

\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \int \frac{{2I dl \times \vec{r}}}{{r^2}} \cdot d\vec{l}\]

После интегрирования, воспользуемся фактом, что \(\vec{r}\) и \(\vec{dl}\) будут перпендикулярны друг другу, так как мы интегрируем вдоль стороны квадрата. Поэтому произведение \(\vec{r} \times \vec{dl}\) будет равно произведению их модулей:

\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \int \frac{{2I dl \cdot r}}{{r^2}}\]

Теперь мы можем проинтегрировать данное выражение. Поскольку длина каждого элемента провода равняется \(dl = a\), а расстояние от элемента до центра равно \(r = \frac{{a}}{{\sqrt{2}}}\), мы можем записать:

\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \int \frac{{2I \cdot a}}{{\frac{{a^2}}{{2}}}} \cdot a\]

\[= \frac{{\mu_0 I a^2}}{{4\pi}} 2\]

\[= \frac{{\mu_0 I a^2}}{{2\pi}}\]

Таким образом, циркуляция магнитной индукции по квадратному контуру со стороной \(a\), через который проходит прямой провод с током \(2I\) на расстоянии \(a\) от его центра, равна \(\frac{{\mu_0 I a^2}}{{2\pi}}\).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!