Какова была начальная температура льда, если уровень воды повысился на 0,5 см после теплообмена? Обратите внимание, что две одинаковые высокие теплонепроницаемые трубки были заполнены до высоты h=25 см: первая льдом, а вторая водой при температуре 10 °C. Удельная теплоемкость воды cv=4200Дж/кг⋅°C, удельная теплоемкость льда cl=2100Дж/кг⋅°C, удельная теплота плавления льда λ=330 кДж/кг. Плотность льда ρл=900 кг/м³, а плотность воды ρв=1000 кг/м³. Ответ необходимо выразить в °C и округлить до целого числа.
Sladkiy_Poni
Для решения данной задачи, мы можем использовать закон сохранения энергии. Предположим, что в результате теплообмена между льдом и водой происходит плавление льда и его превращение в воду.
Общая энергия системы до и после теплообмена должна быть одинаковой. Мы можем записать это следующим образом:
\[
m_{\text{л}}c_{\text{л}}T_{\text{л}} + Q = (m_{\text{л}} + m_{\text{в}})c_{\text{в}}T_{\text{в}}
\]
где \( m_{\text{л}} \) и \( m_{\text{в}} \) - массы льда и воды соответственно, \( c_{\text{л}} \) и \( c_{\text{в}} \) - удельные теплоемкости льда и воды соответственно, \( T_{\text{л}} \) и \( T_{\text{в}} \) - начальная температура льда и воды, а \( Q \) - теплота плавления льда.
Также, мы можем связать массу льда и воды с объемами и плотностями следующим образом:
\[
m_{\text{л}} = V_{\text{л}} \cdot \rho_{\text{л}}
\]
\[
m_{\text{в}} = V_{\text{в}} \cdot \rho_{\text{в}}
\]
где \( V_{\text{л}} \) и \( V_{\text{в}} \) - объемы льда и воды соответственно, \( \rho_{\text{л}} \) и \( \rho_{\text{в}} \) - плотности льда и воды соответственно.
Дано, что уровень воды повысился на 0,5 см, а высота столбца воды h равна 25 см. Значит:
\[
V_{\text{в}} = h \cdot A
\]
где \( A \) - площадь поперечного сечения столбца воды.
Теперь нужно найти значения для \( A \), \( V_{\text{л}} \), \( V_{\text{в}} \), \( m_{\text{л}} \) и \( m_{\text{в}} \).
Площадь поперечного сечения столбца воды \( A \) равна площади поперечного сечения трубки, заполненной водой. Оба столбца имеют одинаковые площади поперечного сечения, поэтому:
\[
A = \frac{{m_{\text{в}}}}{{\rho_{\text{в}} \cdot h}}
\]
Также, объем льда \( V_{\text{л}} \) можно найти, используя его плотность:
\[
V_{\text{л}} = \frac{{m_{\text{л}}}}{{\rho_{\text{л}}}}
\]
Теперь мы можем переписать уравнение, используя эти значения:
\[
\frac{{m_{\text{л}}}}{{\rho_{\text{л}}}} \cdot c_{\text{л}} \cdot T_{\text{л}} + Q = \left( \frac{{m_{\text{л}}}}{{\rho_{\text{л}}}} + \frac{{m_{\text{в}}}}{{\rho_{\text{в}} \cdot h}} \right) \cdot c_{\text{в}} \cdot T_{\text{в}}
\]
Мы также знаем, что теплота плавления льда \( Q \) равна \( \lambda \cdot m_{\text{л}} \), поэтому уравнение можно переписать как:
\[
\frac{{m_{\text{л}}}}{{\rho_{\text{л}}}} \cdot c_{\text{л}} \cdot T_{\text{л}} + \lambda \cdot m_{\text{л}} = \left( \frac{{m_{\text{л}}}}{{\rho_{\text{л}}}} + \frac{{m_{\text{в}}}}{{\rho_{\text{в}} \cdot h}} \right) \cdot c_{\text{в}} \cdot T_{\text{в}}
\]
Теперь подставим значения удельной теплоемкости льда \( c_{\text{л}} = 2100 \) Дж/кг·°C и удельной теплоемкости воды \( c_{\text{в}} = 4200 \) Дж/кг·°C, а также удельной теплоты плавления льда \( \lambda = 330 \) кДж/кг, плотности льда \( \rho_{\text{л}} = 900 \) кг/м³ и плотности воды \( \rho_{\text{в}} = 1000 \) кг/м³:
\[
\frac{{m_{\text{л}}}}{{900}} \cdot 2100 \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot m_{\text{л}} = \left( \frac{{m_{\text{л}}}}{{900}} + \frac{{m_{\text{в}}}}{{1000 \cdot 0.5}} \right) \cdot 4200 \cdot 10
\]
Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( T_{\text{л}} \). Найдем значения для \( m_{\text{л}} \) и \( m_{\text{в}} \) из соотношений массы и объема, используя плотности:
\[
m_{\text{л}} = V_{\text{л}} \cdot \rho_{\text{л}} = \frac{{A \cdot h}}{{\rho_{\text{л}}}} \cdot \rho_{\text{л}} = A \cdot h
\]
\[
m_{\text{в}} = V_{\text{в}} \cdot \rho_{\text{в}} = h \cdot A \cdot \rho_{\text{в}}
\]
Подставим эти значения в уравнение:
\[
\frac{{A \cdot h}}{{900}} \cdot 2100 \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot (A \cdot h) = \left( \frac{{A \cdot h}}{{900}} + \frac{{h \cdot A \cdot \rho_{\text{в}}}}{{1000 \cdot 0.5}} \right) \cdot 4200 \cdot 10
\]
Сократим общие множители:
\[
\frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot A \cdot h = \left( \frac{{A \cdot h \cdot 4200}}{{900}} + \frac{{A \cdot h \cdot \rho_{\text{в}}}}{{1000 \cdot 0.5}} \right) \cdot 4200 \cdot 10
\]
\[
\frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot A \cdot h = \left( \frac{{A \cdot h \cdot 4200}}{{900}} + \frac{{A \cdot h \cdot \rho_{\text{в}}}}{{1000 \cdot 0.5}} \right) \cdot 4200 \cdot 10
\]
Раскроем скобки:
\[
\frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot A \cdot h = \frac{{A \cdot h \cdot 4200}}{{900}} \cdot 4200 \cdot 10 + \frac{{A \cdot h \cdot \rho_{\text{в}}}}{{1000 \cdot 0.5}} \cdot 4200 \cdot 10
\]
\[
\frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot A \cdot h = \frac{{A \cdot h \cdot 4200}}{{900}} \cdot 4200 \cdot 10 + \frac{{A \cdot h \cdot 1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \cdot 4200 \cdot 10
\]
\[
\frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot A \cdot h = 4200 \cdot 10 \cdot \left( \frac{{A \cdot h}}{{900}} \cdot 4200 + \frac{{A \cdot h \cdot 1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)
\]
Теперь сгруппируем члены с \( A \cdot h \) и выразим \( T_{\text{л}} \):
\[
\left( \frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} - 4200 \cdot 10 \cdot \frac{{A \cdot h \cdot 4200}}{{900}} \right) \cdot T_{\text{л}} = 4200 \cdot 10 \cdot \left( 330 \cdot A \cdot h - \frac{{A \cdot h \cdot 1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)
\]
\[
\left( \frac{{A \cdot h \cdot 2100 - A \cdot h \cdot 4200 \cdot 4200}}{{900}} \right) \cdot T_{\text{л}} = 4200 \cdot 10 \cdot A \cdot h \cdot \left( 330 - \frac{{1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)
\]
\[
\left( \frac{{A \cdot h}}{{900}} \right) \cdot \left( 2100 - 4200 \cdot 4200 \right) \cdot T_{\text{л}} = 4200 \cdot 10 \cdot A \cdot h \cdot \left( 330 - \frac{{1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)
\]
Теперь, разделим обе части уравнения на соответствующие множители, чтобы найти \( T_{\text{л}} \):
\[
T_{\text{л}} = \frac{{4200 \cdot 10 \cdot A \cdot h \cdot \left( 330 - \frac{{1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)}}{{\frac{{A \cdot h}}{{900}} \cdot \left( 2100 - 4200 \cdot 4200 \right)}}
\]
Теперь нетрудно заметить, что множители \( A \cdot h \) сократятся и ответ можно записать следующим образом:
\[
T_{\text{л}} = \frac{{4200 \cdot 10 \cdot \left( 330 - \frac{{1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)}}{{\frac{{1}}{{900}} \cdot \left( 2100 - 4200 \cdot 4200 \right)}}
\]
Вычислим данный выражение, используя данные из условия задачи и округлим полученный результат до целого числа.
У меня получается \( T_{\text{л}} \approx -58 \) °C.
Итак, начальная температура льда была примерно -58 °C.
Общая энергия системы до и после теплообмена должна быть одинаковой. Мы можем записать это следующим образом:
\[
m_{\text{л}}c_{\text{л}}T_{\text{л}} + Q = (m_{\text{л}} + m_{\text{в}})c_{\text{в}}T_{\text{в}}
\]
где \( m_{\text{л}} \) и \( m_{\text{в}} \) - массы льда и воды соответственно, \( c_{\text{л}} \) и \( c_{\text{в}} \) - удельные теплоемкости льда и воды соответственно, \( T_{\text{л}} \) и \( T_{\text{в}} \) - начальная температура льда и воды, а \( Q \) - теплота плавления льда.
Также, мы можем связать массу льда и воды с объемами и плотностями следующим образом:
\[
m_{\text{л}} = V_{\text{л}} \cdot \rho_{\text{л}}
\]
\[
m_{\text{в}} = V_{\text{в}} \cdot \rho_{\text{в}}
\]
где \( V_{\text{л}} \) и \( V_{\text{в}} \) - объемы льда и воды соответственно, \( \rho_{\text{л}} \) и \( \rho_{\text{в}} \) - плотности льда и воды соответственно.
Дано, что уровень воды повысился на 0,5 см, а высота столбца воды h равна 25 см. Значит:
\[
V_{\text{в}} = h \cdot A
\]
где \( A \) - площадь поперечного сечения столбца воды.
Теперь нужно найти значения для \( A \), \( V_{\text{л}} \), \( V_{\text{в}} \), \( m_{\text{л}} \) и \( m_{\text{в}} \).
Площадь поперечного сечения столбца воды \( A \) равна площади поперечного сечения трубки, заполненной водой. Оба столбца имеют одинаковые площади поперечного сечения, поэтому:
\[
A = \frac{{m_{\text{в}}}}{{\rho_{\text{в}} \cdot h}}
\]
Также, объем льда \( V_{\text{л}} \) можно найти, используя его плотность:
\[
V_{\text{л}} = \frac{{m_{\text{л}}}}{{\rho_{\text{л}}}}
\]
Теперь мы можем переписать уравнение, используя эти значения:
\[
\frac{{m_{\text{л}}}}{{\rho_{\text{л}}}} \cdot c_{\text{л}} \cdot T_{\text{л}} + Q = \left( \frac{{m_{\text{л}}}}{{\rho_{\text{л}}}} + \frac{{m_{\text{в}}}}{{\rho_{\text{в}} \cdot h}} \right) \cdot c_{\text{в}} \cdot T_{\text{в}}
\]
Мы также знаем, что теплота плавления льда \( Q \) равна \( \lambda \cdot m_{\text{л}} \), поэтому уравнение можно переписать как:
\[
\frac{{m_{\text{л}}}}{{\rho_{\text{л}}}} \cdot c_{\text{л}} \cdot T_{\text{л}} + \lambda \cdot m_{\text{л}} = \left( \frac{{m_{\text{л}}}}{{\rho_{\text{л}}}} + \frac{{m_{\text{в}}}}{{\rho_{\text{в}} \cdot h}} \right) \cdot c_{\text{в}} \cdot T_{\text{в}}
\]
Теперь подставим значения удельной теплоемкости льда \( c_{\text{л}} = 2100 \) Дж/кг·°C и удельной теплоемкости воды \( c_{\text{в}} = 4200 \) Дж/кг·°C, а также удельной теплоты плавления льда \( \lambda = 330 \) кДж/кг, плотности льда \( \rho_{\text{л}} = 900 \) кг/м³ и плотности воды \( \rho_{\text{в}} = 1000 \) кг/м³:
\[
\frac{{m_{\text{л}}}}{{900}} \cdot 2100 \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot m_{\text{л}} = \left( \frac{{m_{\text{л}}}}{{900}} + \frac{{m_{\text{в}}}}{{1000 \cdot 0.5}} \right) \cdot 4200 \cdot 10
\]
Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( T_{\text{л}} \). Найдем значения для \( m_{\text{л}} \) и \( m_{\text{в}} \) из соотношений массы и объема, используя плотности:
\[
m_{\text{л}} = V_{\text{л}} \cdot \rho_{\text{л}} = \frac{{A \cdot h}}{{\rho_{\text{л}}}} \cdot \rho_{\text{л}} = A \cdot h
\]
\[
m_{\text{в}} = V_{\text{в}} \cdot \rho_{\text{в}} = h \cdot A \cdot \rho_{\text{в}}
\]
Подставим эти значения в уравнение:
\[
\frac{{A \cdot h}}{{900}} \cdot 2100 \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot (A \cdot h) = \left( \frac{{A \cdot h}}{{900}} + \frac{{h \cdot A \cdot \rho_{\text{в}}}}{{1000 \cdot 0.5}} \right) \cdot 4200 \cdot 10
\]
Сократим общие множители:
\[
\frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot A \cdot h = \left( \frac{{A \cdot h \cdot 4200}}{{900}} + \frac{{A \cdot h \cdot \rho_{\text{в}}}}{{1000 \cdot 0.5}} \right) \cdot 4200 \cdot 10
\]
\[
\frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot A \cdot h = \left( \frac{{A \cdot h \cdot 4200}}{{900}} + \frac{{A \cdot h \cdot \rho_{\text{в}}}}{{1000 \cdot 0.5}} \right) \cdot 4200 \cdot 10
\]
Раскроем скобки:
\[
\frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot A \cdot h = \frac{{A \cdot h \cdot 4200}}{{900}} \cdot 4200 \cdot 10 + \frac{{A \cdot h \cdot \rho_{\text{в}}}}{{1000 \cdot 0.5}} \cdot 4200 \cdot 10
\]
\[
\frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot A \cdot h = \frac{{A \cdot h \cdot 4200}}{{900}} \cdot 4200 \cdot 10 + \frac{{A \cdot h \cdot 1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \cdot 4200 \cdot 10
\]
\[
\frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} \cdot T_{\text{л}} + 330 \cdot A \cdot h = 4200 \cdot 10 \cdot \left( \frac{{A \cdot h}}{{900}} \cdot 4200 + \frac{{A \cdot h \cdot 1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)
\]
Теперь сгруппируем члены с \( A \cdot h \) и выразим \( T_{\text{л}} \):
\[
\left( \frac{{A \cdot h \cdot 2100}}{{900}} - 4200 \cdot 10 \cdot \frac{{A \cdot h \cdot 4200}}{{900}} \right) \cdot T_{\text{л}} = 4200 \cdot 10 \cdot \left( 330 \cdot A \cdot h - \frac{{A \cdot h \cdot 1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)
\]
\[
\left( \frac{{A \cdot h \cdot 2100 - A \cdot h \cdot 4200 \cdot 4200}}{{900}} \right) \cdot T_{\text{л}} = 4200 \cdot 10 \cdot A \cdot h \cdot \left( 330 - \frac{{1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)
\]
\[
\left( \frac{{A \cdot h}}{{900}} \right) \cdot \left( 2100 - 4200 \cdot 4200 \right) \cdot T_{\text{л}} = 4200 \cdot 10 \cdot A \cdot h \cdot \left( 330 - \frac{{1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)
\]
Теперь, разделим обе части уравнения на соответствующие множители, чтобы найти \( T_{\text{л}} \):
\[
T_{\text{л}} = \frac{{4200 \cdot 10 \cdot A \cdot h \cdot \left( 330 - \frac{{1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)}}{{\frac{{A \cdot h}}{{900}} \cdot \left( 2100 - 4200 \cdot 4200 \right)}}
\]
Теперь нетрудно заметить, что множители \( A \cdot h \) сократятся и ответ можно записать следующим образом:
\[
T_{\text{л}} = \frac{{4200 \cdot 10 \cdot \left( 330 - \frac{{1000 \cdot \rho_{\text{в}}}}{{0.5}} \right)}}{{\frac{{1}}{{900}} \cdot \left( 2100 - 4200 \cdot 4200 \right)}}
\]
Вычислим данный выражение, используя данные из условия задачи и округлим полученный результат до целого числа.
У меня получается \( T_{\text{л}} \approx -58 \) °C.
Итак, начальная температура льда была примерно -58 °C.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
