Какова была начальная скорость мяча, если он упал на землю через 4 секунды? Какой путь был пройден мячом за 4 секунды?

Для решения данной задачи, мы можем использовать основное уравнение равноускоренного движения:

\[s = ut + \frac{1}{2}at^2\]

Где:
- \(s\) - путь, пройденный мячом
- \(u\) - начальная скорость мяча
- \(t\) - время, за которое мяч падает на землю
- \(a\) - ускорение свободного падения

Мы знаем, что ускорение свободного падения \(a\) равно 10 м/с², а время \(t\) составляет 4 секунды. Также, по условию задачи, мы ищем начальную скорость \(u\) и путь \(s\).

Для определения начальной скорости \(u\) подставим известные значения в уравнение и решим его:

\[s = ut + \frac{1}{2}at^2\]

\[s = u \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4^2\]

Упростим выражение:

\[s = 4u + 2 \cdot 10 \cdot 16\]

\[s = 4u + 320\]

Для определения пути \(s\) подставим известные значения в уравнение:

\[s = ut + \frac{1}{2}at^2\]

\[s = u \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4^2\]

Упростим выражение:

\[s = 4u + 2 \cdot 10 \cdot 16\]

\[s = 4u + 320\]

Таким образом, мы получили систему уравнений:
\[s = 4u + 320\]
\[s = 16u + 80\]

Решим данную систему методом подстановки.

Из первого уравнения получаем \(320 = 4u + s\), отсюда выразим \(u\):
\[4u = 320 - s\]
\[u = \frac{{320 - s}}{4}\]

Подставим это выражение для \(u\) во второе уравнение:
\[s = 16u + 80\]
\[s = 16 \cdot \left(\frac{{320 - s}}{4}\right) + 80\]
\[s = 4(320 - s) + 80\]
\[s = 1280 - 4s + 80\]
\[5s = 1360\]
\[s = \frac{1360}{5}\]
\[s = 272\]

Таким образом, путь, пройденный мячом за 4 секунды, равен 272 метра.

Теперь найдем начальную скорость \(u\), подставив найденное значение пути в первое уравнение:
\[320 = 4u + 272\]
\[4u = 320 - 272\]
\[4u = 48\]
\[u = \frac{48}{4}\]
\[u = 12\]

Таким образом, начальная скорость мяча равна 12 м/с.