Какова будет скорость зубца передней ведущей шестеренки в системе отсчета велосипеда, если скорость точки на шине

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать основное соотношение для скоростей вращающихся колес или шестеренок. В данном случае, мы располагаем информацией о скорости точки на заднем колесе ($V_{\text{заднего колеса}}=90$ см/с).

Перед тем, как мы сможем найти скорость зубца передней ведущей шестеренки, давайте найдем радиусы всех трех элементов системы. По условию, радиус задней шестеренки ($r_{\text{задней шестеренки}}$) в 10 раз больше радиуса колеса ($R_{\text{колеса}}$), и радиус задней шестеренки в два раза меньше радиуса передней шестеренки ($r_{\text{передней шестеренки}}$). Пусть радиус колеса будет обозначен как $R_{\text{колеса}}$, тогда радиус задней шестеренки будет $10\cdot R_{\text{колеса}}$, и радиус передней шестеренки будет $\frac{1}{2}\cdot r_{\text{задней шестеренки}}$.

Теперь применим соотношение для скоростей вращающихся элементов. Мы знаем, что скорость точки на заднем колесе равна произведению радиуса колеса на угловую скорость передней ведущей шестеренки. Таким образом, у нас есть:

$$V_{\text{заднего колеса}}=R_{\text{колеса}}\cdot {\omega }_{\text{передней шестеренки}}$$

Так как $R_{\text{колеса}}=r_{\text{передней шестеренки}}/2$, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$$V_{\text{заднего колеса}}=\frac{r_{\text{передней шестеренки}}}{2}\cdot {\omega }_{\text{передней шестеренки}}$$

Теперь остается только найти ${\omega }_{\text{передней шестеренки}}$. Для этого из нашего уравнения нужно выразить ${\omega }_{\text{передней шестеренки}}$:

$${\omega }_{\text{передней шестеренки}}=\frac{2\cdot V_{\text{заднего колеса}}}{r_{\text{передней шестеренки}}}$$

Теперь мы можем вычислить значение ${\omega }_{\text{передней шестеренки}}$ по известным данным:

$${\omega }_{\text{передней шестеренки}}=\frac{2\cdot 90}{(\frac{1}{2}\cdot 10\cdot R_{\text{колеса}})}$$

Мы можем упростить это уравнение, заменив значение $R_{\text{колеса}}$ на $r_{\text{передней шестеренки}}/2$:

$${\omega }_{\text{передней шестеренки}}=\frac{2\cdot 90}{(\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{1}{2}\cdot r_{\text{передней шестеренки}})}$$

Теперь мы можем рассчитать скорость зубца передней ведущей шестеренки, умножив ${\omega }_{\text{передней шестеренки}}$ на радиус передней шестеренки ($r_{\text{передней шестеренки}}$):

$$V_{\text{передней шестеренки}}={\omega }_{\text{передней шестеренки}}\cdot r_{\text{передней шестеренки}}$$

Теперь мы можем рассчитать и окончательный ответ:

$$V_{\text{передней шестеренки}}=\frac{2\cdot 90}{(\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{1}{2}\cdot r_{\text{передней шестеренки}})}\cdot r_{\text{передней шестеренки}}$$

Подставляя числовые значения радиусов, мы получаем окончательный ответ в сантиметрах в секунду.