Какова будет скорость объединенного шарика после столкновения?

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется знание законов сохранения импульса и энергии.

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов системы до и после столкновения должна оставаться постоянной. Импульс \( p \) определяется как произведение массы \( m \) на скорость \( v \). Для первого шарика импульс будет равен \( p_1 = m_1 \cdot v_1 \), а для второго шарика \( p_2 = m_2 \cdot v_2 \), где \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы шариков, а \( v_1 \) и \( v_2 \) - их скорости перед столкновением.

После столкновения шарики объединяются и движутся с общей скоростью \( v_f \). Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов до столкновения должна быть равна сумме импульсов после столкновения, то есть \( p_1 + p_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_f \).

Теперь воспользуемся законом сохранения энергии. Энергия сохраняется, если столкновение является упругим. При упругом столкновении кинетическая энергия до столкновения равна кинетической энергии после столкновения. Кинетическая энергия \( KE \) определяется как половина произведения массы на квадрат скорости. Для первого шарика кинетическая энергия будет \( KE_1 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 \), а для второго шарика \( KE_2 = \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 \).

После столкновения суммарная кинетическая энергия движения объединенного шарика должна равняться сумме кинетических энергий движения первого и второго шариков до столкновения, то есть \( KE_1 + KE_2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \cdot v_f^2 \).

Теперь у нас есть две уравнения, связывающие скорость объединенного шарика \( v_f \) с начальными скоростями \( v_1 \) и \( v_2 \) и массами \( m_1 \) и \( m_2 \).

Решить эти уравнения можно методом замещения. Из первого уравнения получим выражение для \( v_f \):
\[
v_f = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{m_1 + m_2}
\]

Подставим это значение во второе уравнение и решим его относительно \( v_f^2 \):
\[
\frac{1}{2} (m_1 + m_2) \cdot v_f^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2
\]

Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[
\frac{1}{2} (m_1 + m_2) \cdot v_f^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2
\]
\[
(m_1 + m_2) \cdot v_f^2 = m_1 \cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_2^2
\]
\[
v_f^2 = \frac{m_1 \cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_2^2}{m_1 + m_2}
\]

Теперь найдем корень из обеих сторон уравнения и получим значение скорости объединенного шарика \( v_f \):
\[
v_f = \sqrt{\frac{m_1 \cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_2^2}{m_1 + m_2}}
\]

Таким образом, скорость объединенного шарика после столкновения будет равна \( v_f = \sqrt{\frac{m_1 \cdot v_1^2 + m_2 \cdot v_2^2}{m_1 + m_2}} \).

Для полного понимания решения задачи важно уметь работать с формулами, понимать основные законы физики и быть внимательным при выполнении всех шагов расчета.