Какова будет начальная скорость точки, если решение дифференциального уравнения имеет вид x =3cos4t +2sin4t?

Для того чтобы найти начальную скорость точки, нам потребуется взять производную от данного решения дифференциального уравнения. Данное уравнение имеет вид \(x =3\cos(4t) +2\sin(4t)\).

Для начала, найдем производную функции \(x\) по времени \(t\). Возьмем производную от каждого слагаемого отдельно, с учетом правила производной суммы функций:

\(\frac{d}{dt}(3\cos(4t)) = 3\frac{d}{dt}(\cos(4t)) = -12\sin(4t)\)

\(\frac{d}{dt}(2\sin(4t)) = 2\frac{d}{dt}(\sin(4t)) = 8\cos(4t)\)

Теперь сложим полученные производные:

\(\frac{dx}{dt} = -12\sin(4t) + 8\cos(4t)\)

Таким образом, мы нашли производную функции \(x\) по времени \(t\).

Однако, нам нужно найти начальную скорость точки, что означает подставить начальное значение времени \(t_0\), в котором мы исследуем скорость точки. В данной задаче нам не дано значение \(t_0\), поэтому мы не можем точно рассчитать начальную скорость.

Но если предположить, что \(t_0 = 0\), то мы можем рассчитать начальную скорость. Подставим \(t_0 = 0\) в полученную производную функцию:

\(\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0} = -12\sin(4\cdot 0) + 8\cos(4\cdot 0) = -12\sin(0) + 8\cos(0) = 0 + 8 = 8\)

Итак, если предположить, что \(t_0 = 0\), то начальная скорость точки равна 8.

Однако, для точного определения начальной скорости необходимо знать значение времени \(t_0\), в котором мы исследуем скорость точки. Если будет дано значение времени, то мы сможем точно рассчитать начальную скорость.