Какова будет длина пружины, если модуль каждой из сил, приложенных к ее концам, увеличить в 5 раз, при этом не меняя

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу закона Гука, который гласит:

\[F = k \cdot \Delta x\]

где \(F\) - сила, действующая на пружину, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(\Delta x\) - изменение длины пружины.

Первоначально пружина была растянута на 2 см, что означает, что \(\Delta x = 0.02 \, \text{м}\).
Также известно, что модуль каждой из сил, приложенных к концам пружины, увеличивается в 5 раз.

Однако, мы не знаем значения сил, поэтому введем обозначения: \(F_1\) - сила, действующая на один конец пружины, до изменения, \(F_2\) - сила, действующая на один конец пружины, после изменения. Также пусть \(L_1\) - длина пружины до изменения, \(L_2\) - длина пружины после изменения.

Используя закон Гука для силы до изменения и после изменения, мы можем записать следующие уравнения:

\[F_1 = k \cdot \Delta x\]
\[F_2 = 5k \cdot \Delta x\]

Так как силы действуют в противоположных направлениях, мы можем записать их по модулю:

\[|F_1| = k \cdot \Delta x\]
\[|F_2| = 5k \cdot \Delta x\]

По закону сохранения энергии упругой деформации пружины, изменение энергии пружины равно проделанной ей работы. Работа же равна произведению силы на путь, то есть:

\[|F_1| \cdot L_1 = |F_2| \cdot L_2\]

Подставляя значения сил и длин, получим:

\[k \cdot \Delta x \cdot L_1 = 5k \cdot \Delta x \cdot L_2\]

Сокращаем коэффициенты жесткости пружины, получаем:

\(\Delta x \cdot L_1 = 5 \cdot \Delta x \cdot L_2\)

Сокращаем на \(\Delta x\), получаем:

\[L_1 = 5L_2\]

Мы знаем, что исходная длина пружины \(L_1 = 20 \, \text{см}\), поэтому:

\[20 = 5L_2\]

Решая данное уравнение, найдем:

\[L_2 = \frac{20}{5} = 4 \, \text{см}\]

Таким образом, длина пружины после изменения будет равна 4 см.