Какова амплитуда колебаний тела массой 0,15 кг, которое совершает гармонические колебания на невесомой пружине

Чтобы решить данную задачу, нам нужно использовать законы гармонических колебаний и законы сохранения импульса.

Колебания тела на невесомой пружине можно рассматривать как гармонические колебания, которые имеют постоянную амплитуду \(A\). Коэффициент жесткости пружины обозначается как \(k\). Мы можем использовать закон Гука для определения связи между коэффициентом жесткости и амплитудой колебаний. Формула для закона Гука выглядит следующим образом:

\[F = -kx,\]

где \(F\) - сила, действующая на пружину, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, \(x\) - смещение пружины от положения равновесия.

Сила действующая на пружину момента времени равна произведению массы тела на его ускорение. Для гармонических колебаний ускорение связано с амплитудой и временем следующим образом:

\[a = \omega^2 A,\]

где \(\omega\) - циклическая частота гармонических колебаний, \(A\) - амплитуда колебаний, \(a\) - ускорение.

Используя закон сохранения импульса, мы можем записать:

\[m_1 v_1 = m_2 v_2,\]

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы тела до и после колебаний на пружине, \(v_1\) и \(v_2\) - их соответствующие скорости. Максимальное значение импульса может быть представлено как произведение массы тела на его максимальную скорость:

\[p_{max} = m_{max} \cdot v_{max},\]

где \(p_{max}\) - максимальное значение импульса, \(m_{max}\) - максимальная масса тела, \(v_{max}\) - максимальная скорость.

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

Шаг 1: Найдем максимальную скорость. Для этого воспользуемся законом сохранения импульса:

\[m_{max} \cdot v_{max} = 0,8 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}.\]

Максимальная скорость будет равна \(v_{max} = \frac{{0,8 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}}{{0,15 \, \text{кг}}}.\)

Шаг 2: Найдем циклическую частоту \(\omega\). По определению \(\omega\) связана с коэффициентом жесткости \(k\) и массой \(m\) пружины следующим образом:

\[\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.\]

Шаг 3: Используя формулу для ускорения \(a = \omega^2 A\), найдем ускорение \(a\). Ускорение также может быть записано как \(a = \frac{{v_{max}^2}}{A}\).

Шаг 4: Найдем амплитуду колебаний \(A\). Для этого воспользуемся формулой для ускорения:

\[A = \frac{{v_{max}^2}}{a}.\]

Подставив известные значения, получаем:

\[A = \frac{{v_{max}^2}}{a} = \frac{{\left(\frac{{0,8 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}}}{{0,15 \, \text{кг}}}\right)^2}}{\frac{{0,8 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}^2}}{\text{м}}},\]

\[A = \frac{{0,8^2 \, \text{кг}^2 \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}}{{0,8 \, \text{кг} \cdot \text{м/с}^2/\text{м}}}.\]

Произведя вычисления, получаем ответ:

\[A \approx 4,27 \, \text{м}.\]

Таким образом, амплитуда колебаний тела составляет примерно 4,27 метра.