Каков закон распределения случайной величины x, которая представляет собой количество гласных букв среди выбранных

Для начала, определим все возможные исходы эксперимента, то есть количество гласных букв, которые могут быть выбраны наугад из трех карточек.

В нашем случае, на трех карточках написаны 5 гласных и 3 согласных буквы. Это означает, что максимальное количество гласных букв, которые можно выбрать из трех карточек, равно 3, а минимальное количество равно 0.

Теперь мы можем составить таблицу вероятностей для каждого значения количества гласных букв.

| Количество гласных букв | Вероятность |
|-------------------------|------------|
| 0 | |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |

Чтобы вычислить вероятность каждого значения, нам необходимо узнать количество способов выбрать определенное количество гласных букв и разделить это значение на общее количество возможных комбинаций выбора из трех карточек.

Начнем с вычисления вероятности выбора 0 гласных букв. В этом случае, нам надо выбрать только согласные буквы из трех карточек. Количество способов выбрать 3 из 3 согласных равно 1 (так как нет других вариантов). Общее количество возможных комбинаций выбора из трех карточек равно общему количеству букв, то есть 8C3 (количество сочетаний из 8 по 3). Таким образом, вероятность выбора 0 гласных букв равна \(\frac{1}{{8 \choose 3}}\).

Для вычисления вероятности выбора 1 гласной буквы, нам нужно выбрать 1 гласную и 2 согласные из трех карточек. Количество способов выбрать 1 гласную из 5 равно 5, а количество способов выбрать 2 согласные из 3 равно 3C2 (количество сочетаний из 3 по 2). Общее количество возможных комбинаций выбора из трех карточек остается тем же, \(8 \choose 3\). Таким образом, вероятность выбора 1 гласной буквы равна \(\frac{{5 \cdot {3 \choose 2}}}{{8 \choose 3}}\).

Аналогично, для вычисления вероятностей выбора 2 и 3 гласных букв, мы выбираем соответствующее количество гласных и согласных букв и делим на общее количество возможных комбинаций выбора из трех карточек.

Вычислим свернутую формулу для закона распределения случайной величины \(x\) (количество гласных букв):

\[P(x=k) = \frac{{\text{{количество способов выбрать k гласных из 5}} \cdot \text{{количество способов выбрать 3-k согласных из 3}}}}{{8 \choose 3}}\]

где k может принимать значения 0, 1, 2 или 3.

Таким образом, получаем закон распределения случайной величины \(x\):

\[P(x=0) = \frac{1}{{8 \choose 3}}\]
\[P(x=1) = \frac{{5 \cdot {3 \choose 2}}}{{8 \choose 3}}\]
\[P(x=2) = \frac{{5 \cdot {3 \choose 1}}}{{8 \choose 3}}\]
\[P(x=3) = \frac{{5 \cdot {3 \choose 0}}}{{8 \choose 3}}\]

Пожалуйста, обратите внимание, что эти вероятности в сумме должны равняться 1.