Каков вид графика функции y=-x²+6x-5 и на каких интервалах он монотонен?

Для начала, давайте построим график функции \(y = -x^2 + 6x - 5\). Для этого нам необходимо проанализировать основные характеристики функции.

1. Найдем вершину параболы, которая является точкой экстремума функции:
Для этого воспользуемся формулой вершины параболы \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты при \(x\) в квадратичном уравнении.
В данном случае \(a = -1\) и \(b = 6\).
Подставим значения коэффициентов в формулу:
\(x = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3\).
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами \((3, f(3))\).

2. Определим, каким образом парабола направлена: вниз или вверх.
Коэффициент \(a\) в квадратичном уравнении определяет направление открытия параболы.
Если \(a\) положительное число, то парабола открывается вверх, если отрицательное - вниз.
В данном случае коэффициент \(a = -1\), поэтому парабола открывается вниз.

На основании полученных данных, мы можем приступить к построению графика функции.

1. Начнем с отметки точки вершины параболы \((3, f(3))\).
2. Оси координат разобьем на равные отрезки и подписываем значения на горизонтальной и вертикальной осях.
3. Подставим несколько значений \(x\) в исходное уравнение и найдем соответствующие значения \(y\). Например, можем выбрать значения: \(x = 0, x = 1, x = 2, x = 4, x = 5\).
Подставим их в уравнение:
При \(x = 0\): \(y = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5\), точка (0, -5).
При \(x = 1\): \(y = -1^2 + 6 \cdot 1 - 5 = 0\), точка (1, 0).
При \(x = 2\): \(y = -2^2 + 6 \cdot 2 - 5 = 1\), точка (2, 1).
При \(x = 4\): \(y = -4^2 + 6 \cdot 4 - 5 = -5\), точка (4, -5).
При \(x = 5\): \(y = -5^2 + 6 \cdot 5 - 5 = 5\), точка (5, 5).
4. Нарисуем график проходящей через эти точки параболы.

Теперь перейдем к определению интервалов монотонности этой функции.

Для начала, определим, что такое монотонность функции.
Монотонная функция - это такая функция, значение которой либо всегда возрастает, либо всегда убывает при изменении аргумента.

Для нашей функции \(y = -x^2 + 6x - 5\), нам необходимо найти интервалы значений \(x\), на которых функция монотонна.

1. Для этого найдем первую производную функции, которая помогает определить монотонность функции.
Возьмем производную от \(y\):
\(y" = \frac{d}{dx}(-x^2 + 6x - 5)\).
Производная функции \(y\) равна нулю, когда уравнение \(y" = 0\) выполняется.
Решим уравнение \(y" = 0\):
\(0 = -2x + 6\),
\(2x = 6\),
\(x = 3\).
Получили точку \(x = 3\), которая является особой точкой и разделяет интервалы монотонности функции.

2. Проведем тестирование интервалов на монотонность при помощи тестовых значений.
Когда \(x < 3\):
Подставим, например, \(x = 2\) в производную функцию \(y"\):
\(y" = -2 \cdot 2 + 6 = 2\).
Получили положительное значение. Это означает, что функция возрастает на интервале \(-\infty < x < 3\).

Когда \(x > 3\):
Подставим, например, \(x = 4\) в производную функцию \(y"\):
\(y" = -2 \cdot 4 + 6 = -2\).
Получили отрицательное значение. Это означает, что функция убывает на интервале \(3 < x < +\infty\).

Таким образом, график функции \(y = -x^2 + 6x - 5\) является параболой, открытой вниз, с вершиной в точке (3, f(3)). Функция возрастает на интервале \(-\infty < x < 3\) и убывает на интервале \(3 < x < +\infty\).