Каков угол в треугольнике АВС, если его вершины заданы координатами А(1; 5; 3), В(3; 3; 2), С(3

Чтобы найти угол в треугольнике АВС, нам нужно использовать формулу косинуса. Эта формула позволяет нам определить значение угла, если известны длины всех сторон треугольника.

Первым шагом нам нужно вычислить длины сторон треугольника АВС. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве для этого.

Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1, z_1)\) и \((x_2, y_2, z_2)\) в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Применим эту формулу для вычисления длин сторон треугольника АВС:

AB:
\[d_{AB} = \sqrt{{(3 - 1)^2 + (3 - 5)^2 + (2 - 3)^2}} = \sqrt{{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \sqrt{{4 + 4 + 1}} = \sqrt{{9}} = 3\]

AC:
\[d_{AC} = \sqrt{{(3 - 1)^2 + (3 - 5)^2 + (2 - 3)^2}} = \sqrt{{2^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \sqrt{{4 + 4 + 1}} = \sqrt{{9}} = 3\]

BC:
\[d_{BC} = \sqrt{{(3 - 3)^2 + (3 - 3)^2 + (2 - 2)^2}} = \sqrt{{0^2 + 0^2 + 0^2}} = \sqrt{{0}} = 0\]

Теперь, когда мы знаем длины сторон треугольника, мы можем применить формулу косинуса:

\[\cos(A) = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}\]

где \(A\) - угол при вершине А, \(a\) - длина стороны, противолежащей углу A, \(b\) - длина стороны, прилежащей к углу A, и \(c\) - длина оставшейся стороны.

Чтобы найти угол АВС, мы будем использовать стороны AB, AC и BC:

\[\cos(A) = \frac{{3^2 + 3^2 - 0^2}}{{2 \cdot 3 \cdot 3}} = \frac{{9 + 9 - 0}}{{18}} = \frac{{18}}{{18}} = 1\]

Теперь, чтобы найти значение угла, нам нужно найти обратный косинус (\(\arccos\)) от полученного значения. Давайте посчитаем:

\[A = \arccos(1) = 0\]

Итак, угол в треугольнике АВС равен \(0\) градусов.