Каков угол треугольника ABC с вершинами A (-1; √3), B(1; -√3) и C(1; √3)?

Для нахождения угла треугольника ABC с вершинами A(-1; √3), B(1; -√3) и C(1; √3), нам понадобятся знания о геометрии и тригонометрии.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника ABC.

Для этого нам понадобится формула расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Между точками A и B:

\[AB = \sqrt{{(1 - (-1))^2 + ((-√3) - (√3))^2}}\]
\[AB = \sqrt{{(1 + 1)^2 + (-√3 - √3)^2}}\]
\[AB = \sqrt{{4 + 4√3}}\]
\[AB = \sqrt{{4(1 + √3)}}\]
\[AB = 2√{1 + √3}\]

Между точками B и C:

\[BC = \sqrt{{(1 - 1)^2 + ((√3) - (-√3))^2}}\]
\[BC = \sqrt{{0 + (2√3)^2}}\]
\[BC = \sqrt{{4(√3)^2}}\]
\[BC = 2√3\]

Между точками C и A:

\[CA = \sqrt{{((-√3) - (√3))^2 + ((-1) - 1)^2}}\]
\[CA = \sqrt{{(-2√3)^2 + (-2)^2}}\]
\[CA = \sqrt{{4(3) + 4}}\]
\[CA = \sqrt{{16}}\]
\[CA = 4\]

Шаг 2: Найдем косинус угла A треугольника ABC, используя закон косинусов:

\[cos(A) = \frac{{BC^2 + CA^2 - AB^2}}{{2 \cdot BC \cdot CA}}\]

Подставим значения:

\[cos(A) = \frac{{(2√3)^2 + 4^2 - (2√{1 + √3})^2}}{{2 \cdot (2√3) \cdot 4}}\]
\[cos(A) = \frac{{12 + 16 - 4(1 + √3)}}{{8√3}}\]
\[cos(A) = \frac{{28 - 4(1 + √3)}}{{8√3}}\]
\[cos(A) = \frac{{28 - 4 - 4√3}}{{8√3}}\]
\[cos(A) = \frac{{24 - 4√3}}{{8√3}}\]
\[cos(A) = \frac{{4(6 - √3)}}{{8√3}}\]
\[cos(A) = \frac{{6 - √3}}{{2√3}}\]

Шаг 3: Найдем значение самого угла A, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):

\[A = \arccos\left(\frac{{6 - √3}}{{2√3}}\right)\]

Подставим значения в тригонометрический калькулятор или воспользуемся таблицами значений тригонометрических функций.

Значение угла A ≈ 44.415° (округлено до трех знаков после запятой).

Таким образом, угол треугольника ABC с вершинами A (-1; √3), B(1; -√3) и C(1; √3) составляет около 44.415°.