Каков угол между прямыми AB и CD, если координаты точек A(1; 1; 5), C(8; 5; 5), B(4; 7; 5), и D(5;-1;5)?

Чтобы найти угол между прямыми AB и CD, нам необходимо использовать формулу для нахождения косинуса угла. Воспользуемся следующей формулой:

\[\cos(\theta) = \frac{{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}}\]

где \(\theta\) - угол между прямыми, \(\vec{u}\) - вектор, параллельный одной из прямых, и \(\vec{v}\) - вектор, параллельный другой прямой.

Давайте найдем векторы, параллельные прямым AB и CD.

Вектор \(\vec{u}\), параллельный прямой AB, можно получить вычитанием координат точек A и B:

\(\vec{u} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 7-1 \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Аналогично, вектор \(\vec{v}\), параллельный прямой CD, получается разностью координат точек C и D:

\(\vec{v} = \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 8-5 \\ 5-(-1) \\ 5-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Теперь мы можем вычислить косинус угла \(\theta\) с использованием найденных векторов:

\[\cos(\theta) = \frac{{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}} = \frac{{3 \cdot 3 + 6 \cdot 6 + 0 \cdot 0}}{{\sqrt{3^2 + 6^2 + 0^2} \cdot \sqrt{3^2 + 6^2 + 0^2}}}\]

Выполнив все вычисления, получаем:

\[\cos(\theta) = \frac{{45}}{{45}} = 1\]

Теперь, чтобы найти сам угол \(\theta\), нам нужно найти обратный косинус (арккосинус) от этого значения. То есть:

\(\theta = \arccos(1)\)

Поскольку \(\cos(\theta) = 1\) только при \(\theta = 0\), мы можем заключить, что угол между прямыми AB и CD равен 0 градусов.

Таким образом, угол между прямыми AB и CD равен 0 градусов.