Каков угол между плоскостью сечения, проходящего через сторону основания и середину скрещивающегося с ним бокового

Для начала, давайте разберемся с терминами и понятиями, которые нам потребуются в решении задачи.

Правильная четырехугольная пирамида - это пирамида, у которой основание является квадратом, а боковые грани представляют собой равносторонние треугольники. В данной задаче у нас такая пирамида.

Сечение через сторону основания - это плоскость, проходящая через одну из сторон основания пирамиды.

Скрещивающееся боковое ребро - это ребро пирамиды, которое пересекает сторону основания под прямым углом в ее середине.

Апофема - это отрезок, проведенный из вершины пирамиды (точки пересечения всех боковых граней) до середины одной из сторон основания. Обозначим апофему как \( a \), где \( a = \sqrt{97} \).

Теперь, чтобы вычислить угол между плоскостью сечения и скрещивающимся боковым ребром, нам понадобится использовать геометрию и некоторые свойства правильных четырехугольных пирамид.

Поскольку основание пирамиды - это квадрат, давайте назовем сторону этого квадрата как \( s \).

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. Мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника, образованного апофемой пирамиды, половиной стороны основания и половиной диагонали основания.

Половина диагонали основания равна \( \frac{s}{2} \cdot \sqrt{2} \). Половина стороны основания равна \( \frac{s}{2} \).

Высоту пирамиды \( h \) мы можем выразить по теореме Пифагора:
\[ h = \sqrt{\left(\frac{s}{2}\right)^2 + \left(\frac{s}{2} \cdot \sqrt{2}\right)^2} \]
\[ h = \sqrt{\frac{s^2}{4} + \frac{2s^2}{4}} \]
\[ h = \sqrt{\frac{3s^2}{4}} \]
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot s \]

Теперь у нас есть необходимые данные для вычисления искомого угла.

Угол между плоскостью сечения и скрещивающимся боковым ребром - это угол между плоскостью, проходящей через сторону основания и плоскостью, проходящей через апофему и скрещивающееся боковое ребро.

Учитывая, что апофема является высотой пирамиды, мы можем рассмотреть треугольник, состоящий из апофемы, скрещивающегося бокового ребра и отрезка, соединяющего середину стороны основания с точкой пересечения плоскостей.

Так как пирамида является правильной, то боковое ребро, проведенное из вершины, делит основание на две равные части, поэтому отрезок, соединяющий середину стороны основания с точкой пересечения плоскостей, является медианой треугольника.

Таким образом, у нас есть прямоугольный треугольник со следующими сторонами:
- катет \( \frac{s}{2} \) (половина стороны основания),
- гипотенуза \( a \) (апофема),
- катет \( \frac{s}{2} \cdot \sqrt{2} \) (половина диагонали основания).

Мы можем использовать тангенс, чтобы выразить искомый угол \( \alpha \):
\[ \tan{\alpha} = \frac{\frac{s}{2} \cdot \sqrt{2}}{\frac{s}{2}} \]
\[ \tan{\alpha} = \sqrt{2} \]

Теперь остается только выразить угол \( \alpha \):
\[ \alpha = \arctan{\sqrt{2}} \]

Округлим результат до двух десятичных знаков, чтобы получить ответ:
\[ \alpha \approx 54.74^{\circ} \]

Таким образом, угол между плоскостью сечения, проходящего через сторону основания, и середину скрещивающегося с ним бокового ребра в данной правильной четырехугольной пирамиде при заданных условиях равен примерно \( 54.74^{\circ} \).