Каков угол между направленным отрезком ОР и положительной полуосью ОХ, если координаты точки Р равны а) (-2; 2√3

Для начала, давайте вспомним некоторые основы геометрии, связанные с определением углов. Угол между двумя направленными отрезками можно найти, используя скалярное произведение векторов.

В нашем случае, чтобы найти угол между отрезком ОР и положительной полуосью ОХ, нам необходимо знать координаты точки Р. Рассмотрим случаи а) и б) направленного отрезка ОР.

а) Координаты точки P равны (-2; 2√3). Для нахождения угла между отрезком ОР и положительной полуосью ОХ, нам понадобятся координаты начала отрезка (точка О). В данном случае положительная полуось ОХ находится справа от начала координат (0;0). Исходя из этого, координаты точки О будут (0;0).

Теперь, чтобы найти вектор ОР, вычтем координаты начала отрезка О из координат точки P:

\[\vec{OP} = (x_P - x_O; y_P - y_O) = (-2 - 0; 2\sqrt{3} - 0) = (-2; 2\sqrt{3})\]

Теперь найдем скалярное произведение данного вектора на положительную полуось ОХ:

\[\vec{OP} \cdot \vec{OX} = (-2) \cdot 1 + (2\sqrt{3}) \cdot 0 = -2\]

Чтобы найти угол между векторами, мы можем использовать формулу:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OX}}{|\vec{OP}| \cdot |\vec{OX}|}\]

Где \(\theta\) - искомый угол, \(\vec{OP} \cdot \vec{OX}\) - скалярное произведение векторов, а \(|\vec{OP}|\) и \(|\vec{OX}|\) - длины векторов ОР и ОХ соответственно.

В нашем случае, длина вектора ОР равна:

\[|\vec{OP}| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4\]

Так как длина положительной полуоси ОХ равна 1 (она является единичным вектором), формула для нахождения угла принимает вид:

\[\cos(\theta) = \frac{-2}{4 \cdot 1}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[\cos(\theta) = -\frac{1}{2}\]

Чтобы найти сам угол, возьмем обратный косинус от полученного значения:

\[\theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\]

Теперь можно вычислить точное значение угла, с помощью калькулятора или таблицы значений. В данном случае, получаем:

\[\theta \approx 120^\circ\]

Таким образом, угол между направленным отрезком ОР и положительной полуосью ОХ в данной точке (а) равен примерно 120 градусам.

б) Для случая, когда координаты точки P равны (3√3; 3), похожий процесс может быть применен.

Сначала находим вектор ОР:

\[\vec{OP} = (x_P - x_O; y_P - y_O) = (3\sqrt{3} - 0; 3 - 0) = (3\sqrt{3}; 3)\]

Затем, вычисляем скалярное произведение векторов:

\[\vec{OP} \cdot \vec{OX} = (3\sqrt{3}) \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 3\sqrt{3}\]

Длина вектора ОР:

\[|\vec{OP}| = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6\]

Применяя полученные значения в формуле для угла, имеем:

\[\cos(\theta) = \frac{3\sqrt{3}}{6 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Находим угол с помощью обратного косинуса:

\[\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Окончательно, угол между направленным отрезком ОР и положительной полуосью ОХ в данной точке (б) равен:

\[\theta \approx 30^\circ\]

Таким образом, угол между отрезком ОР и положительной полуосью ОХ в случаях а) и б) равен, соответственно, примерно 120 градусам и 30 градусам.