Каков угол между направленным отрезком ОР и положительной полуосью ОХ, если координаты точки Р равны а) (-2; 2√3

Для начала, давайте вспомним некоторые основы геометрии, связанные с определением углов. Угол между двумя направленными отрезками можно найти, используя скалярное произведение векторов.

В нашем случае, чтобы найти угол между отрезком ОР и положительной полуосью ОХ, нам необходимо знать координаты точки Р. Рассмотрим случаи а) и б) направленного отрезка ОР.

а) Координаты точки P равны (-2; 2√3). Для нахождения угла между отрезком ОР и положительной полуосью ОХ, нам понадобятся координаты начала отрезка (точка О). В данном случае положительная полуось ОХ находится справа от начала координат (0;0). Исходя из этого, координаты точки О будут (0;0).

Теперь, чтобы найти вектор ОР, вычтем координаты начала отрезка О из координат точки P:

$$\overrightarrow{OP}=(x_P-x_O;y_P-y_O)=(-2-0;2\sqrt{3}-0)=(-2;2\sqrt{3})$$

Теперь найдем скалярное произведение данного вектора на положительную полуось ОХ:

$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OX}=(-2)\cdot 1+(2\sqrt{3})\cdot 0=-2$$

Чтобы найти угол между векторами, мы можем использовать формулу:

$$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OX}}{|\overrightarrow{OP}|\cdot |\overrightarrow{OX}|}$$

Где $\theta$ - искомый угол, $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OX}$ - скалярное произведение векторов, а $|\overrightarrow{OP}|$ и $|\overrightarrow{OX}|$ - длины векторов ОР и ОХ соответственно.

В нашем случае, длина вектора ОР равна:

$$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{(-2{)}^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$$

Так как длина положительной полуоси ОХ равна 1 (она является единичным вектором), формула для нахождения угла принимает вид:

$$\cos (\theta )=\frac{-2}{4\cdot 1}$$

Упрощая выражение, получаем:

$$\cos (\theta )=-\frac{1}{2}$$

Чтобы найти сам угол, возьмем обратный косинус от полученного значения:

$$\theta =\arccos (-\frac{1}{2})$$

Теперь можно вычислить точное значение угла, с помощью калькулятора или таблицы значений. В данном случае, получаем:

$$\theta \approx {120}^{\circ }$$

Таким образом, угол между направленным отрезком ОР и положительной полуосью ОХ в данной точке (а) равен примерно 120 градусам.

б) Для случая, когда координаты точки P равны (3√3; 3), похожий процесс может быть применен.

Сначала находим вектор ОР:

$$\overrightarrow{OP}=(x_P-x_O;y_P-y_O)=(3\sqrt{3}-0;3-0)=(3\sqrt{3};3)$$

Затем, вычисляем скалярное произведение векторов:

$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OX}=(3\sqrt{3})\cdot 1+3\cdot 0=3\sqrt{3}$$

Длина вектора ОР:

$$|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{(3\sqrt{3}{)}^2+3^2}=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6$$

Применяя полученные значения в формуле для угла, имеем:

$$\cos (\theta )=\frac{3\sqrt{3}}{6\cdot 1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Находим угол с помощью обратного косинуса:

$$\theta =\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Окончательно, угол между направленным отрезком ОР и положительной полуосью ОХ в данной точке (б) равен:

$$\theta \approx {30}^{\circ }$$

Таким образом, угол между отрезком ОР и положительной полуосью ОХ в случаях а) и б) равен, соответственно, примерно 120 градусам и 30 градусам.