Каков тангенс угла, образованного большой диагональю и плоскостью основания прямой призмы, если стороны основания равны

Для начала, давайте разберемся с тангенсом угла, образованного большей диагональю с плоскостью основания прямой призмы.

У нас имеется прямоугольная призма, и мы знаем, что стороны основания равны 1 см и 4 см, высота призмы равна 6 см, а тупой угол равен 120°.

Для вычисления тангенса угла, нам потребуется знать значение самого угла. Отправной точкой будет прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной большей диагонали, и катетом, равным средней стороне основания призмы.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы. В данном случае:

\(\text{гипотенуза}^2 = \text{катет}^2 + \text{катет}^2\)

\(\text{гипотенуза}^2 = 1^2 + 4^2\)

\(\text{гипотенуза}^2 = 1 + 16\)

\(\text{гипотенуза}^2 = 17\)

\(\text{гипотенуза} = \sqrt{17}\)

Теперь, чтобы вычислить тангенс угла, мы можем использовать соотношение:

\(\tan(\text{угол}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}\)

В нашем случае, противолежащий катет - это высота призмы, равная 6 см, а прилежащий катет - это длина большей диагонали, которую мы и ищем.

Таким образом, тангенс угла, образованного большей диагональю с плоскостью основания, будет равен:

\(\tan(\text{угол}) = \frac{6}{\text{длина большей диагонали}}\)

Теперь, чтобы найти длину большей диагонали, мы можем переиспользовать ранее найденное значение гипотенузы:

\(\tan(угол) = \frac{6}{\sqrt{17}}\)

Таким образом, мы получаем тангенс угла, образованного большей диагональю с плоскостью основания, равный \(\frac{6}{\sqrt{17}}\).

Теперь перейдем ко второй части задачи, где мы должны вычислить длину большей диагонали призмы.

Как мы уже рассчитали ранее, гипотенуза этого прямоугольного треугольника равна \(\sqrt{17}\). Однако, нам нужна длина большей диагонали, которая является длиной диагонали прямоугольной основы призмы. Для этого нам необходимо учесть еще одну сторону прямоугольного треугольника.

Мы знаем, что угол между большей диагональю и плоскостью основания равен 120°. Таким образом, другая меньшая диагональ создает два равнобедренных треугольника внутри нашей призмы.

Мы можем рассмотреть один из этих равнобедренных треугольников и применить теорему косинусов, чтобы найти длину второй стороны прямоугольного треугольника:

\(d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\angle)\),

где \(d\) - длина второй стороны прямоугольного треугольника (вторая диагональ призмы), \(a\) и \(b\) - длины сторон основания призмы, а \(\angle\) - угол, образованный большей диагональю и плоскостью основания.

В нашем случае, мы знаем, что \(a = 1\) см, \(b = 4\) см и \(\angle = 120°\).

Подставим значения в формулу:

\(d^2 = 1^2 + 4^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot \cos(120°)\)

\(d^2 = 1 + 16 - 2 \cdot 1 \cdot 4 \cdot (-0.5)\)

\(d^2 = 17 + 4\)

\(d^2 = 21\)

\(d = \sqrt{21}\)

Таким образом, длина большей диагонали призмы составляет \(\sqrt{21}\) см.