Каков тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD, A1D1, в кубе ABCDA1B1C1D1?

Чтобы решить эту задачу, нужно вспомнить некоторые основы геометрии и использовать некоторые свойства куба.

По условию задачи, у нас есть куб ABCDA1B1C1D1 с плоскостью ADA1 (обозначим её как плоскость 1) и плоскостью, проходящей через середины рёбер AD, A1D1 (обозначим её как плоскость 2).

Чтобы найти тангенс угла между этими двумя плоскостями, нам понадобятся некоторые свойства плоскостей.

1. Перпендикулярные плоскости. Две плоскости, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными плоскостями. Таким образом, если мы можем показать, что плоскость 1 и плоскость 2 являются перпендикулярными, мы сможем найти тангенс угла между ними.

2. Направляющие векторы плоскостей. Чтобы определить, перпендикулярны ли две плоскости, нам нужно проверить, являются ли их направляющие векторы перпендикулярными. Для плоскости 1 направляющие векторы можно найти, взяв две точки, например, точки A и A1, и вычитая их координаты друг из друга. Аналогично для плоскости 2 можно найти направляющие векторы, используя середины рёбер AD и A1D1.

3. Тангенс угла между плоскостями. Если векторы, определяющие плоскости 1 и 2, ортогональны, то тангенс угла между этими плоскостями равен \(0\). Если векторы коллинеарны, то тангенс угла между плоскостями равен \(\pm\infty\), в зависимости от направления вектора.

Теперь давайте решим задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем направляющие векторы плоскости 1.
Возьмем две точки на плоскости 1: A и A1.
А координаты точки A: \(A(x_{A}, y_{A}, z_{A})\).
А координаты точки A1: \(A1(x_{A1}, y_{A1}, z_{A1})\).

Тогда направляющие векторы плоскости 1 будут:
\(\vec{v_1} = A1 - A\).

Шаг 2: Найдем направляющие векторы плоскости 2.
Возьмем две точки на плоскости 2: середины ребер AD и A1D1.
Обозначим середину ребра AD как M и ее координаты будут:
\(M(\frac{x_{A} + x_{D}}{2}, \frac{y_{A} + y_{D}}{2}, \frac{z_{A} + z_{D}}{2})\).
Аналогично, обозначим середину ребра A1D1 как M1 и ее координаты будут:
\(M1(\frac{x_{A1} + x_{D1}}{2}, \frac{y_{A1} + y_{D1}}{2}, \frac{z_{A1} + z_{D1}}{2})\).

Тогда направляющие векторы плоскости 2 будут:
\(\vec{v_2} = M1 - M\).

Шаг 3: Проверим, ортогональны ли направляющие векторы.
Для этого нам нужно найти скалярное произведение векторов \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\).

Если скалярное произведение равно \(0\), то векторы ортогональны и плоскости являются перпендикулярными.

Шаг 4: Найдем тангенс угла между кубом и плоскостью 2.
Если направляющие векторы плоскостей ортогональны, то их тангенс угла будет равен \(0\).
Если направляющие векторы коллинеарны, то их тангенс угла будет равен \(\pm\infty\), в зависимости от направления вектора.

В данном случае, если плоскости перпендикулярные, то тангенс будет \(0\).

Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам понять, как найти тангенс угла между плоскостями ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD и A1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1.